Hiperbola

6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6

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6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola

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1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y

V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN

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Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: .

fig. 6.5.13.

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

SOLUCIÓN

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La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y

(fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: e .

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3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN

Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).

Además, de la ecuación: , se deduce que: ; y

son las ecuaciones de las asíntotas.

4. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN

La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.

Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1).

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, .

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten

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