Historia de los números complejos

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación

U.E.C. “Valle Verde”

4to año “A”

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Historia de los números complejos

La primera referencia conocía a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos como eran Herón de Alejandría en Siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos de ser más patentes en el Siglo XXI, cuando la búsqueda de formular que diera las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fue encontrada por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por descartes en siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición

Un número complejo es un número de la forma a + bi, dónde a y b son números reales, llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como i=1.

Origen del número imaginario

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo, presentándolos los como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números imaginarios el considerar una recta numérica típica, que aumenta posiblemente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números imaginarios aumentando positivamente hace arriba negativamente hacia bajo. Este eje vertical llamado el “eje imaginario”. En esta representación, una multiplicación por - 1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen. -1 puede interpretar se diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, del resultado final es equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en dirección “negativa” (sentido horario) satisface también una interpretación.  En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R.

Definición 1. Se llama número complejo a todo par ordenado z = (a, b) de números reales.

Dado z ∈ C, z un número complejo, si z = (a, b) los números a y b son respectivamente la parte real y parte imaginaria de z y esto lo notamos:

a = Re (z), b = Im (z).

Dados dos números complejos z = (a, b) y w = (c, d) definimos la igualdad de z y w como:[pic 3]

a = c[pic 4]

b = d

Observemos que el par (a, b) es ordenado, en el sentido que el complejo (a, b) no es igual al complejo (b, a).

Definimos a continuación operaciones entre los números complejos: la suma y el producto de la siguiente manera:

Definición 2. Sean z = (a, b) y w = (c, d) dos números complejos (es decir a, x ∈ C). Entonces definimos

• Suma: z + w = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• Producto: zw = (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Es importante notar que la suma (producto) que se está definiendo es la de los pares ordenados (a, b) y (c, d).

Cuando decimos que esto equivale al par ordenado (a + c, b + d), la suma aquí es la usual entre los números reales a y c, y b y d.

Al conjunto de los números complejos junto con las operaciones definidas arriba lo indicamos con la letra C:

C = {(a, b) : a, b ∈ R}.

Teorema 3. Los números complejos satisfacen las siguientes propiedades: si z, u, w son números complejos cualesquiera, entonces se verifican:

1. Propiedad conmutativa: z + w = w + z, zw = wz.
2. Propiedad asociativa: z + (u + w) = (z + u) + w, z (uw) = (zu) w.
3. Propiedad distributiva: z (u + w) = zu + zw.
4. Existencia de neutro: Existen (0, 0) ∈ C y (1, 0) ∈ C tales que

                                (0, 0) + z = z y (1, 0) z = z.

5. Existencia de opuesto: Si z = (a, b), existe −z = (−a, −b) ∈ C tal que z + (−z) = (0, 0).

6. Existencia de inverso: Si z = (a, b) 6= 0, [pic 5]

Demostración. Ejercicio

El elemento (0, 0) del Teorema 3 se llama neutro de la suma en C y para cada z ∈ C, −z se llama opuesto de z.

El elemento (1, 0) se llama identidad del producto en C y para cada  se llama inverso de z.[pic 6]

A partir del teorema anterior, podemos definir la resta y el cociente de números complejos.

Definición 4. [pic 7]

.

Ejemplo 5. 1. (1, 0) − (2, 1) = (1, 0) + [− (2, 1)] = (1, 0) + [(−2, −1)] = (1 + (−2), 0 + (−1)) = (−1, −1).

2. (2, 1) − (1, 0) = (2, 1)+ [− (1, 0)] = (2, 1)+ [(−1, 0)] = (2+ (−1), 1+ 0) = (1, 1). Notar que este ejemplo muestra que la resta de números complejos no es conmutativa ya que [pic 8]

3.[pic 9]

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Una última operación que ser ‘a interesante estudiar es la de potenciación.

Definición 6. Sea z ∈ C un número complejo. Para cada n ∈ N, se define el número complejo de la siguiente manera (recursiva): [pic 11][pic 12]

.

[pic 13]

La potencia de complejos así definida tiene las siguientes propiedades (análogas a las de los números reales)

Trabajando  con números complejos

• Sumar números complejos.
• Restar números complejos.
• Multiplicar números complejos.
• Encontrar conjugados de números complejos.
• Dividir números complejos.

Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.

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