Intervalos de confianza ESTADÍSTICA

Intervalos de confianza                ESTADÍSTICA II[pic 1]

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AUTORES                :        Lic. Jessica Elizabeth Chalco Suárez

                        :        Mtro. Wilbert Colque Candia

DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES

Una estadística muestral proveniente de una muestra aleatoria simple tiene un patrón de comportamiento (predecible) en repetidas muestras. Este patrón es llamado la distribución muestral de la estadística.

Si conocemos la distribución muestral podemos hacer inferencia. Las distribuciones muéstrales adoptan diferentes formas según las estadísticas investigadas y las características de la población estudiada.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

La distribución muestral de la media es la distribución de los valores de las medias muéstrales de todas las posibles muestras del mismo tamaño n tomadas de la misma población

Si sacamos muestras aleatorias de tamaño n de una población con media  y desviación estándar σ, entonces la distribución muestral de la media muestral tiene las siguientes propiedades:[pic 6]

1. El promedio de todos los valores posibles de medias muéstrales es igual al parámetro μ.  En otras palabras, la media muestral   es un estimador insesgado de μ.[pic 7]

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1. Error estándar de la media muestral: Es la desviación estándar de las posibles medias muestrales.

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El error estándar disminuye si el tamaño de la muestra aumenta.

Se puede interpretar como el grado de variabilidad que tiene la media muestral con respecto a la media poblacional. En otras palabras, es una medida de la incertidumbre que existe al estimarla media poblacional a partir de la media muestral

1. Si la muestra es obtenida sin remplazo de una población finita de tamaño , entonces el error estándar es[pic 10]

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El coeficiente  es denominado factor de corrección para población finita. Se observa que cuandoel factor de corrección tiende a uno.[pic 12][pic 13]

1. Si la población original tiene distribución Normal, entonces para cualquier tamaño muestral "n" la distribución de la media muestral es también Normal

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1. Si la población de origen no es Normal, pero podemos calcular su media y desviación estándar y el tamaño muestral (n) es “suficientemente” grande la distribución de la media muestral es aproximadamente Normal

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Este resultado se conoce como el Teorema del Límite Central.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Este es uno de los teoremas más importantes en probabilidad y en general en estadística. Si  es la media de una muestra de tamaño n que se toma de una población normal con media    y varianzaentonces la variable tiende a la distribución normal estándar a medida que n tiende a infinito.  Es decir:
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Observación: cuando se desconoce la varianza poblacional y se tiene que estimar a partir de los datos de la muestra como  entonces la estadística tiene una distribución t de Student con n –1 grado de libertad.[pic 21][pic 22]

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

La estimación de la media poblacional se hace mediante la variable aleatoria Z, así el intervalo de estimación es:

1. Intervalo de confianza para una población infinita

• Intervalo de confianza para [pic 23]

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Con un error máximo de:  [pic 27]

  Es el valor teórico de la distribución normal estándar, depende del nivel de confianza [pic 28][pic 29]

• Intervalo de confianza para [pic 31]

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Con un error máximo de:  [pic 35]

  Es el valor teórico de la distribución T- Student, depende del nivel de confianza y los grados de libertad de la distribución. (grado de libertad: )   [pic 36][pic 37][pic 38]

1. Intervalo de confianza para una población finita

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Donde es denominado factor de corrección para poblaciones finitas[pic 41]

Con un error máximo de:  [pic 42]

  Es el valor teórico de la distribución normal estándar.[pic 43]

Caso práctico de intervalo de confianza para una población infinita  [pic 44]

Ejemplo 1

La asociación de productores de azúcar desea calcular el consumo medio de azúcar por año. Una muestra aleatoria de 75 personas revela que el consumo medio anual es de 12 kilos por persona, con una desviación estándar de 2.4 kilos. Determine el intervalo de confianza de 95% para la media poblacional (interprete), es razonable concluir que la media poblacional es de 15 kilos.

Procedimiento 1: (Utilizando calculadora)

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