Introducción A La Probabilidad

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Espacio Muestral

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se llama espacio muestral y se representa por el símbolo S

Ejemplo

Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesamos en el número que muestre la cara superior, el espacio muestral sería:

S_1={1,2,3,4,5,6}

Si nos interesamos sólo en si el número es par o impar, el espacio muestral simplemente será:

S_1={par,impar}

Esto ilustra el hecho de que se puede usar más de un espacio muestral para describir los resultados de un experimento.

En algunos experimentos es útil listar los elementos del espacio muestral de forma sistemática utilizando un diagrama de árbol

Ejemplo

Un experimento consiste en lazar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara. Si sale sello en primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez. Para listar los elementos del espacio muestral, se construye el diagrama de árbol que se muestra a continuación:

Al seguir a lo largo de todas las trayectorias, vemos que el espacio muestral es:

S={CC,CS,S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Los espacios muestrales con número grande o infinito de puntos muestrales se describen mejor mediante un enunciado o regla. Por ejemplo, si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de ciudades con una población de más de un millón, el espacio muestral se escribe como:

S={x|x es una ciudad con una población de más de un millón}

Se lee “S es el conjunto de todas las ciudades x tales que x es una población de más de un millón”, la barra vertical se lee “tal que”

Eventos

Un evento es un subconjunto del espacio muestral

Ejemplo

Dado el espacio muestral S={t|t≥0}, donde t es la vida en años de cierto componente electrónico, entonces el evento A de que tal componente falle antes de que finalice el quinto año es el subconjunto A={t|0≤t<5}

El complemento de un evento A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en S. Se denota el complemento de A como A’

Ejemplo

Sea

S={1,2,3,4,5,6}

Sea A, el evento que contiene los nueros pares de S, entonces

A={ 2,4,6}, entonces A´={ 1,3,5}.

La intersección de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A∩B, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes a A y a B

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si A∩B=∅

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A∪B, es el evento que contiene todos los elementos de que pertenecen a A o a B o a ambos

Ilustración 1. Representación de Eventos por Regiones

Dado el diagrama anterior indique las regiones que representas las siguientes situaciones:

A∩B

B∩C

A∪B

A∩B∩C

(A∪B)∩C'

Conteo de Puntos Muestrales

Si una operación se puede llevar a cabo de n_1 formas, y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación de n_2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de n_1 n_2 formas

Si una operación se puede llevar a cabo de n_1 formas, y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación de n_2 formas, y para cada una de las dos primeras se puede realizar una tercera operación de n_3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar de n_1 n_2 n_3…n_k formas

Ejemplo

Sam va a armar una computadora por sí mismo. Tiene la opción de comprar los chips entre dos marcas, un disco duro de cuatro marcas, la memoria de tres marcas y un conjunto de accesorios en cinco tiendas locales. ¿De cuantas formas diferentes puede Sam comprar las partes?

Como n_1 〖=2,n〗_2=4,n_3=3 y n_4=4, hay 2x4x3x5=120 formas diferentes de comprar las partes.

Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos

El número de permutaciones de n objetos distintos es n!

El número de permutaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es de es:

〖 _n P〗_r=n!/((n-r)!)

Ejemplo

Se van a elegir a un presidente y a un tesorero de un club estudiantil compuesto por 50 personas, ¿Cuántas opciones diferentes de funcionarios son posibles?

〖 _50 P〗_2=50!/((50-2)!)=2450

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es:

(n-1)!

El número de permutaciones distintas de n objetos de los que n_1 son de una clase, n_2 de una segunda clase,.. n_k de una k-ésima clase es:

n!/(n_1 !n_2 !…n_k !)

Ejemplo

Durante un entrenamiento del equipo de fútbol americano de la universidad, el coordinador defensivo necesita tener 10 jugadores parados en una fila. Entre estos 10 jugadores, hay 1 de primer año, 2 de segundo año, 4 de tercer año y 3 de cuarto año. ¿De cuantas formas diferentes se pueden arreglar en una fila si solo se distingue su nivel de clase?

10!/1!2!4!3!=12600

El número de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n_1 elementos en la primera celda, n_2 elementos en la segunda celda, y así sucesivamente es:

(n¦(n_1,n_2,…,n_r ))=n!/(n_1 !n_2 !…n_r !)

Donde, n_1+n_2+⋯〖+n〗_r=n

Ejemplo

¿En cuántas formas se pueden asignar siete estudiantes de posgrado a una habitación de hotel triple y a dos dobles, durante su asistencia a

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