Introducción a la probabilidad

Capítulo 4

Introducción a la probabilidad

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra. Los valores de probabilidad se asignan del 0 al 1. Una probabilidad cercana al 0 es poco probable y una cercana a 1 es probable. Un experimento se define como un proceso que genera resultados bien definidos. En cada repetición ocurre uno de los resultados posibles del experimento.

Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados del experimento. Un resultado experimental también se conoce como punto de la muestra para identificarlo como un elemento del espacio muestral.

Diagrama de árbol: es una representación grafica que ayuda a visualizar un experimento de pasos múltiples.

Combinación: Permite contar el numero de resultados cuando el experimento consiste en la selección de n objetos de un conjunto de N objetos.

Permutaciones: Permite que una persona calcule el numero de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto N objetos y el orden de selección es importante. Lo mismos n objetos seleccionados en un orden distinto se consideran un resultado experimental diferente.

El método clásico de asignación de posibilidades es apropiado cuando todos los resultados del experimento son igualmente probables. Si n resultados son posibles una probabilidad de 1/n se asigna a cada resultado experimental. Cuando se utiliza este método, los dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades se cumplen de manera automática.

El método de frecuencia relativa de asignación de probabilidades es apropiado cuando los datos están disponibles para estimar la proporción del tiempo en que ocurrirá el resultado del experimento se repite un gran número de veces.

El método subjetivo de asignación de probabilidades es más apropiado cuando no se puede asumir en forma realista que los resultados del experimento son igualmente probables y cuando se dispone de pocos datos relevantes.

Evento: Colección de puntos de la muestra.

Probabilidad de un evento: Es igual a la suma de probabilidades de los puntos de la muestra del evento. El complemento de un evento se define como el evento que consta de todos los puntos de la muestra que no están en el evento del que se habla.

La ley de la adición es útil cuando interesa conocer la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos (la unión de dos eventos). La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos de la muestra que pertenecen a A o B o ambos. La intersección de A y B es el evento que contiene los puntos de la muestra que pertenecen a tanto A como B. Los eventos son excluyentes si no tienen puntos de la muestra en común. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre un evento, el otro no puede ocurrir.

La probabilidad de un evento muchas veces es influida por el hecho de si otro evento relacionado ha ocurrido ya. Debido a que cada uno de los valores da la probabilidad de la intersección de dos eventos, las probabilidades se llaman probabilidades conjuntas. Las probabilidades marginales se llaman así por su ubicación en los bordes de la tabla de probabilidades conjuntas. La probabilidad condicional se calcula como la razón de una probabilidad conjunta a una probabilidad marginal.

Los eventos son independientes si la probabilidad del evento A no se ve alterada por conocer que el evento B existe. La ley de la multiplicación se utiliza para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos. Se basa en la definición de la probabilidad condicional. El teorema de Bayes proporciona un medio para efectuar los caculos de las probabilidades posteriores.

Probabilidades Previas – Información Nueva – Teorema de Bayes – Probabilidades Posteriores

El teorema de Bayer es válido cuando los eventos de los que se quiere calcular las probabilidades posteriores son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral total.

Capitulo 5

Distribuciones de Probabilidad Discreta

Una variable es una descripción numérica de los resultados de un experimento. Una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado experimental posible. El valor numérico particular de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Esta se clasifica como discreta o continua en función de los valores numéricos que asume.

Una variable aleatoria que puede asumir cualquier numero finito de valores o una sucesión infinita de valores como 0,1,2… se conoce como variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria que sume cualquier valor numérico en un intervalo o conjunto de intervalos se llama variable aleatoria continua. Los resultados experimentales basados es escalas de medición como el tiempo, peso, distancia y temperatura se describen por medio de este tipo de variables.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe como se distribuyen las probabilidades entre los valores de la misma. Para una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad se define por medio de una función de probabilidad.

El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de su posición central. La varianza se usa para resumir la variabilidad en los valores de una variable aleatoria.

La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se asocia con un experimento de múltiples pasos que se llama experimento binomial.

Propiedades de una experimento binomial:

1. El experimento consiste de una secuencia de n ensayos idénticos.

2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de ellos se le llama éxito y al otro, fracaso.

3. La probabilidad de éxito, denotada por p, no cambia de un ensayo a otro. Por consiguiente la probabilidad de fracaso, denotada por 1 – p, tampoco cambia de un ensayo a otro.

4. Los ensayos son independientes.

En un experimento binomial, lo que interesa es el numero de éxitos que ocurren en los n ensayos. Si x denota el numero de éxitos que ocurren en n ensayos, vemos que x puede asumir los valores 1,2,3..n. La distribución de probabilidad asociada con esta variable se llama distribución de probabilidad binomial.

Propiedades de un experimento de Poisson

1. La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera dos intervalos de igual longitud.

2. La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

La distribución de probabilidad hipergeometrica mantiene una relación estrecha con la distribución binomial, pero difiere de esta en dos puntos esenciales: sus ensayos no son independientes y su probabilidad de éxito cambia de un ensayo a otro. Se usa

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