Introducción A La Probabilidad

Unidad III

Introducción a la Probabilidad

Para extender los resultados del estudio descriptivo de las variables estadísticas a poblaciones que no se observan completamente, es necesario utilizar la idea de modelo probabilístico. En esta parte, se introduce, en primer lugar, la noción de probabilidad como idealización del concepto de frecuencia relativa. A continuación se presenta la probabilidad condicionada y la definición de independencia. El concepto básico para la construcción de modelos probabilísticos es el de variable aleatoria; el estudio que aquí se realiza es paralelo al que se ha hecho en la primera parte con las variables estadísticas, considerándose su distribución de probabilidad, su media (o valor esperado), varianza, etc. Esta parte finaliza con el estudio de algunas distribuciones de probabilidad bien conocidas.

3.1 Conceptos

A continuación detallaremos ciertos conceptos y nomenclaturas que nos serán útiles cada vez que enfrentemos un problema probabilístico.

Experimento aleatorio

Un experimento, desde el punto de vista estadístico, está constituido por uno o más ensayos, terminó que idéntica cualquier acto repetible que produce un resultado único cada vez que se ejecuta. Cualquier experimento que puede tener m´as de un resultado se califica como aleatorio y es posible encontrar un modelo que permita determinar la pro- babilidad de ocurrencia de cada resultado. Las caracter´ısticas comunes de experimento aleatorio son:

o Pueden repetirse indefinidamente manteniendo las condiciones en las que se realiza

o Previo a cualquier ensayo no es posible predecir un resultado particular

o Previo al experimento es posible predecir el conjunto de posibles resultados La frecuencia de aparición de los diferentes resultados tiende a regularizarse al aumentar el número de repeticiones.

Ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar una o más monedas, tirar un dado, determinar el número de individuos en varias unidades de muestreo, etc.

3.1.1 Probabilidad

La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igual de indecisos respecto a su existencia, y en determinar el número de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se busca. La proporcionan entre este número y el de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que no es, pues, mas que una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador el de todos los posibles.

Ha llegado el momento de establecer que entendemos como probabilidad. La noción de probabilidad es algo con lo que convivimos diariamente haciendo conjeturas acerca de que esperamos que pase y consecuentemente, tomando decisiones. Por lo que nuestra primera dentición de probabilidad será cualquier probabilidad establecida es una afirmación que indica cuan posible se cree que es que un evento ocurra". Pero, más allá de establecer una de noción intuitiva necesitamos convertir la intuición al lenguaje matemático. Por lo tanto empezaremos reescribiendo la de noción y diremos que "la probabilidad es un valor numérico que cuántica la posibilidad o factibilidad de ocurrencia de un resultado determinado dentro de un conjunto de resultados posibles". A un resultado imposible de ocurrir se le asigna una probabilidad de 0, si por el contrario es segura su ocurrencia, se le asigna una probabilidad de 1. A las probabilidades intermedias se les asocian valores entre 0 y 1.

3.1.2 eventos

Cualquier conjunto de resultados dentro de un espacio muestra se denomina evento o suceso. En la terminóloga de conjuntos se puede decir que un evento (A) es un sub- conjunto del espacio muestra (S). El evento integrado por todos los resultados es igual al espacio muestral. A continuación especificamos terminóloga:

Evento elemental: es cada resultado que conforma un espacio muestral. Evento complemento: Dado un evento A en el espacio muestral S, el evento complemento de A (A), está constituido por todos los elementos que pertenecen a S y que no están en A. Evento vacio: es el evento que no tiene elementos y que por lo tanto no puede ocurrir (∅)

Con los eventos de un mismo espacio muestral se pueden realizar operaciones que resultan en la formación de nuevos eventos, los cuales siguen siendo subconjuntos del espacio muestral. Existen dos operaciones básicas: la unión y la intersección de eventos, que en cierto modo son paralelas a las operaciones de suma y multiplicación respectivamente. La unión de dos eventos A y B, se representa A S B, y da como resultado otro evento, el cual está formado por todos los elementos que pertenecen al evento A, al evento B o a ambos a la vez (fig. (a)). Cuando la unión de dos eventos equivale a todo el espacio muestral, se dice que los dos eventos son mutuamente exhaustivos. La intersección de dos eventos A y B se representa A T B, y da como resultado otro evento, el cual está formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos a la vez (fig. (b)). Cuando la intersección de dos eventos es vacıa, se dice que los dos eventos son mutuamente excluyentes. Por último, los elementos de un evento A que no se encuentran en el evento B, forman otro evento llamado diferencia de A y B, representado por A − B (fig. (c)).

3.1.3 Espacio muestral

Asociado a cualquier experimento aleatorio (E) existe un espacio muestral (S) que se define como el conjunto de todos los

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