LA ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

PARTE 1

ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La Esperanza Matemática de una variable aleatoria no es más que el valor promedio que asumirá dicha variable después de un número lo suficientemente grande de repeticiones de una situación. Los valores posibles de la variable aleatoria tendrán asignada una determinada probabilidad de ocurrencia. Y de esta forma, el valor promedio esperado, o esperanza matemática de la variable, se obtiene con la fórmula:

Donde Xi es el valor i-ésimo de la variable X y pi es su probabilidad. El índice n indica el número posible de valores que tiene la variable aleatoria X. E(X) es la esperanza matemática de la variable X, es decir, su valor promedio.

1. El gerente de un lote de autos sabe que la ganancia que puede tener en la venta de cada unidad es variable pudiendo ser en algunos casos nula o incluso negativa ya que a veces se hacen gastos fuertes en la reparación del auto que no se recuperan. Por otro lado, el gerente sabe que las ganancias en la venta de autos dependen de su antigüedad, su estado, y de la popularidad del modelo; tomando en cuenta estos factores, clasificó a las ventas con base en la ganancia y también contabilizó cuantas veces ocurrieron. Esta información se muestra en la tabla siguiente:

Tipo de venta Ganancia Número

de veces

Excelente $20,000 5

Buena $15,000 12

Regular $ 10,000 18

Mala 0 2

Muy mala – $ 12,000 3

Total: 40

a. ¿Cuál es la probabilidad de cada tipo de venta y por lo tanto de cada tipo de ganancia?

Del Total 40 número de veces hay

b. ¿Cuál es la ganancia promedio en la venta de autos?

c. ¿Cuál es la ganancia total que cabría esperar por la venta de 40 autos?

2. El gerente de una tienda de ropa necesita saber cuántas órdenes de compostura (subir valencianas, dobladillos ajuste de cinturas, etc.) se reciben diariamente en la época navideña. La siguiente tabla nos muestra una distribución de frecuencias con dicha información. Con base en los datos proporcionados determina:

Clases Frecuencia

[30, 40) 8

[40, 50) 18

[50, 60) 22

[60, 70) 12

a. La marca de clase y la probabilidad de que ocurra cada clase.

b. Si tomamos las marcas como los valores posibles de la variable “número de órdenes de compostura” y calculamos su esperanza matemática, ¿Cuál es su valor?

c. Observa y compara la esperanza matemática con la media aritmética de la distribución.

PARTE 2

TABLAS O MATRICES DE PAGO

En ciertas circunstancias la toma de decisiones consiste en elegir una de entre varias opciones pero en condiciones que son inciertas. Estas circunstancias se suelen llamar genéricamente como “estados de la naturaleza”. Para analizar y resolver estos casos se suele construir una tabla o matriz de pagos. El término “pago” también es genérico ya que puede referirse a ganancias, costos, ventas, etc.

Podríamos afirmar que la tabla de pagos resume los resultados que se obtendrían con cada decisión en los diferentes escenarios que los estados de la naturaleza imponen. Al final, el promedio o esperanza matemática de dichos resultados (pagos) determinará cuál es la mejor opción a elegir.

Esta parte de la actividad ha sido preparada para que practiques la construcción y análisis de las tablas de pago, en contextos económico administrativos. Resuelve los siguientes ejercicios:

3. El administrador de un restaurante quiere saber cuántos kilos de camarón es conveniente comprar a fin de maximizar las utilidades del negocio. Con los datos estadísticos disponibles elaboró la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra el número de kilos vendidos y el número de días en que se tuvo ese tipo de venta.

Kilos vendidos: 60 80 100 120

Número de días: 15 22 20 13

Si el kilo de camarón le cuesta a la empresa $ 50.00, lo vende al público a razón de $120 y en caso de que no se venda, se remata en $40.00. Determina:

a. La matriz de pagos

b. Con base en el Valor Monetario Esperado ¿cuántos kilos de camarón es más conveniente adquirir cada día?

c. ¿Cuál es la cantidad máxima que se debería pagar por tener información

...