La Ecuación

Ecuación de tercer grado

Gráfica de una función cúbica.

Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Índice

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• 1 Función cúbica

o 1.1 Ecuación cúbica

o 1.2 Discriminante

• 2 El caso real

o 2.1 Raíces reales de la ecuación cúbica

o 2.2 Raíces múltiples

• 3 El caso general

o 3.1 Fórmula general

• 4 Ejemplos

o 4.1 Ejemplo 1

o 4.2 Ejemplo 2

• 5 Véase también

• 6 Referencias

• 7 Enlaces externos

[editar]Función cúbica

Gráfico de una función cúbica del tipo y = K(x+4)•(x+1)•(x-2). Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

[editar]Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

[editar]Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: 1

• Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.

• Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene múltiples raíces y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).

• Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

[editar]El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante Δ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al menos habrá una solución real.

[editar]Raíces reales de la ecuación cúbica

Partiendo de la ecuación canónica

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo ) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

Se demuestra que el número de raíces

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