Proyecto Matemàticas

1.1 PROPOSICIONES

1.1 PROPOSICIÓN

Es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones.

Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que carecen de sentido, no son objeto de estudio de la lógica.

Oraciones que son proposiciones.

7 es un número primo.

5(3+4) = 36.

Todos los números enteros son positivos.

Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisión y sin ambigüedades o subjetivismo.

Representación simbólica de proposiciones.

Usualmente, las primeras letras del alfabeto español en minúscula se usan para representar proposiciones. a: , b: , c: ,d: ,…………z:.

a: 15 es un número impar.

a: 38 - 20 = 18.

b: Todos los números enteros son positivos.

c: Obtengo buenas notas.

Oraciones que no son proposiciones.

Lava el auto, por favor.

Hola, ¿cómo estás?

¡Apúrate!

La conceptualización cambia lo absurdo en azul.

x + 5 = 9.

¡Mañana se acabará el mundo!

No son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones. x + 5 = 9 no es una proposición, ya que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad.

VALOR DE VERDAD

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.

Lo asociamos:

Valor de Verdad Valor Falso

1 0

V F

T False

TRUE

Utilizaremos cualquiera de ellas, pero la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binario.

Ejemplo:

Proposición Valor de Verdad

a: 7 es un número primo. 1 Verdadero

b: Todos los números enteros son negativos. 0 Falso

TABLA DE VERDAD

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.

Construcción de tablas de verdad.

a b

0 0

0 1

1 0

1 1

a

0

0

1.2 OPERADORES LÓGICOS

En nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más complejas, no tan simples o elementales.

Ejemplo:

No te encontré en tu casa.

Fui al banco y estaba cerrado.

Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos.

El carro de Juan o es azul o es negro.

Si me gano la lotería, entonces me compro una casa.

Estudio en la ESPOL si y sólo si me esfuerzo.

Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lógicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayoría, son denominados partes invariables de la oración.

NEGACIÓN ()

Tabla de Verdad de la Negación:

a  a

0 1

1 0

Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera, a es falsa; si a es una proposición falsa, a es verdadera.

La negación se presenta con los términos gramaticales: "no", "ni", "no es verdad que", "no es cierto que".

Ejemplo

Si se tiene la proposición: a: Tengo un billete de 20 dólares.

La negación de a es: a: No tengo un billete de 20 dólares.

CONJUNCIÓN (  )

Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por ab, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

a b ab

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En español, la conjunción copulativa se presenta con los términos gramaticales: "y", "pero", "mas", y signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Ejemplo

Si se tienen las proposiciones:

a: Obtengo buenas notas.

b: Gana una beca.

La conjunción entre a y b es:

ab: Obtengo buenas notas y gano una beca.

DISYUNCIÓN (  )

Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbólicamente por a  b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

a b a v b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

En español, la disyunción se presenta con el término gramatical "o".

Ejemplo:

Si se tienen las proposiciones:

a: Tengo un libro de Trigonometría.

b: Tengo un libro de Álgebra.

La disyunción entre a y b es:

a v b: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA (  )

Sean a y b proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b, representada simbólicamente por a  b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

a b a  b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en

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