Prueba de hipotesis con varianza conocida

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS

En este capítulo se amplia el estudio para dos muestras el concepto de pruebas de hipótesis. Es decir se toman dos muestras aleatorias para determinar si provienen de una misma población o poblaciones iguales. Algunas de las preguntas que se desean probar son las siguientes:

1. ¿Existe una diferencia entre la cantidad media de inmuebles residenciales vendidos en el sur de Florida, por agentes de ventas de uno o de otro sexo?
2. ¿Hay diferencia en la cantidad media de defectos producidos en el turno matutino y los producidos en el turno vespertino, en una empresa?
3. En la industria de comida rápida, ¿hay diferencia en el número de días de ausencia entre los trabajadores jóvenes (menores de 21 años) y los trabajadores de edad mayor (mayores de 60 años)?
4. ¿Hay diferencia en la proporción de egresados de la Universidad Estatal de Ohio y los egresados de la Universidad de Cincinati, que son aprobados en el primer intento en el examen estatal para ejercer como contadores públicos certificados (CPA)?
5. ¿Aumenta la taza de producción si hay música en el área de trabajo?

Este capítulo empieza con la situación en la que se toman dos muestras aleatorias de dos poblaciones para investigar si estas poblaciones tienen la misma media.

Un planeador urbano, en el estado de Florida (EUA), desea saber si hay diferencia en el salario medio por hora de plomeros y electricistas en el centro de ese estado. Un contralor quiere saber si la tasa media de ganancia de fondos mutualistas de alto rendimiento difiere de la tasa media de ganancia de fondos mutualistas globales.

En cada uno de estos casos, para investigar lo que se desea, se toma una muestra aleatoria de cada población y se calcula la media de las muestras. Si las dos poblaciones son iguales, es decir, si el salario medio por hora de plomeros y electricistas es el mismo, se esperará que la diferencia entre las dos medias muestrales sea cero. Pero ¿si los resultados muestrales dan una diferencia distinta de cero? ¿Esa diferencia se debe a la casualidad o a que hay diferencia distinta de cero? Una prueba con dos muestras para los valores medios ayudará a responder esa pregunta.

Para entender la teoría, es necesario tomar varios pares de muestras, calcular las medias determinar la diferencia entre las medias muestrales y analizar la distribución de las diferencias entre las medias muestrales. Por el estudio de la distribución de las medias muestrales, se sabe que la distribución de las medias muestrales sigue la distribución muestral (suponiendo que n = 30 por lo menos). Si las dos distribuciones de las medias muestrales siguen la distribución muestral, entonces se puede pensar que la distribución de sus diferencias se apega también a la distribución muestral. Este es el primer obstáculo.

El segundo obstáculo se refiere a la media de la distribución de las diferencias. Si se encuentra que la media de esta distribución es cero, esto implica que no hay diferencia entre las dos poblaciones. Por otro lado, si la media de la distribución de las diferencias es un valor distinto de cero, ya sea positivo o negativo, entonces se concluye que las dos poblaciones no tienen la misma media.

El último obstáculo es que se necesita saber algo acerca de la variabilidad de la distribución de las diferencias. En otras palabras, ¿Cuál es al desviación estándar de al distribución de tales diferencias? La teoría estadística indica que cuando se tienen poblaciones independientes, la varianza (la desviación estándar al cuadrado) de la distribución de las diferencias, es igual a la suma de las dos varianzas individuales. Esto significa que se pueden sumar las varianzas de las dos distribuciones muestrales.

El primer miembro de la ecuación parece complicado, pero no es difícil de interpretar. El término S2, indica que es una varianza muestral, y el subíndice x1 –x2, señala que es una distribución de diferencias entre las medias muestrales.

Esta ecuación se puede escribir en forma más usual tomando la raíz cuadrada, para obtener la desviación estándar de la distribución de las diferencias. Por último se estandariza la distribución de las diferencias. El resultado es la siguiente ecuación:

Se parte de los siguientes supuestos necesarios para usar la fórmula:

1. No debe haber relación entre las dos muestras poblacionales. Es decir tienen que ser independientes.
2. Las muestras tienen que ser lo suficientemente grandes para que la distribución de las medias muestrales siga la distribución normal.
3. Se requiere que ambas muestras tengan por lo menos 30 observaciones.

EJEMPLO A cada paciente de un determinado hospital se le pide que evalué el servicio cuando es dado de alta. Últimamente se han recibido quejas de que los médicos residentes y las enfermeras del piso de cirugía tardan demasiado en responder a las llamadas de los pacientes adultos. Se quejan de que los demás enfermos reciben un servicio más rápido. El director del hospital pidió al consejo de administración que investigara lo anterior. Después de analizar el problema, el consejo de administración reunió la siguiente información muestral. ¿Es razonable concluir, al nivel de significancia 0.01, que el tiempo medio de respuesta es mayor en el caso de los pacientes adultos mayores? ¿Cuál es el valor de p en este caso?

SOLUCIÓN Se usa el proceso de prueba de hipótesis de cinco pasos.

Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula es que no hay diferencias en el tiempo medio de respuesta entre los dos grupos. En otras palabras, la diferencia de 0:20 minutos entre el tiempo medio de respuesta para los pacientes, se debe a la casualidad. La hipótesis alternativa es que el tiempo medio de respuesta es mayor para los pacientes adultos. Se usara μs para el tiempo medio de respuesta en las poblaciones de los pacientes adultos y μ0 para el tiempo medio de respuesta de los otros pacientes. La hipótesis nula y alternativa es:

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