Sistemas lineales dinamicos

TAREA Nº1

SISTEMAS LINEALES DINÁMICOS

Enunciado:

La figura 1 muestra un levitador magnético que debe levantar una masa M=0.3 a una posición x(t) que puede ser 0.3, 0.35 o bien 0.25, manipulando la tensión e(t). La masa esta solidara al piso mediante un resorte kr = 30 y un amortiguador da = 2. Considere que la masa M esta a una distancia de 0.3 del piso con el resorte en reposo y la tensión e(t) = 0, que las distancias ll = 0.5, al = 0.02 y que la fuerza que ejerce el imán es kii2(t)/( al + ll – x(t)), donde ki = 0.03. Notar que el imán se puede representar por una resistencia R = 2 y una inductancia Le = 0.05 y que la gravedad es gt = 10.

[pic 1]

Fig. (1)

1. Cantidades del sistema:

• Entrada: e(t)
• Salida: x(t)
• Perturbaciones: (no hay)
• V. estado: i(t), x(t),  ẋ(t)
• Parámetros: R, L, M, da, kr, gt, ki, ll, al, l0. (donde l0 = 0.3, altura inicial de M desde el  piso)

Diagrama de bloques del sistema:

[pic 2]

1. Ecuaciones de estado:

Primero, se aplica la ley de voltajes de Kirchhoff,  ley de Ohm y la definición de voltaje en el inductor obteniéndose:

e(t) - Ri(t) - L = 0[pic 3]

Despejando nos queda:

 =  –     (b.1)                                                                                                [pic 4][pic 5][pic 6]

Ahora, aplicamos la segunda ley de Newton y las respectivas definiciones para cada fuerza obteniéndose:

M ẍ (t) = -kr(x(t) – l0) - daẋ(t) - Mg + [pic 7]

Despejando nos queda:

ẍ (t) =  (x(t) – l0) - ẋ(t) - g +        (b.2)[pic 8][pic 9][pic 10]

Sea  x1(t) = i(t), x2(t) = x(t), x3(t) = ẋ(t) , u(t) = e(t), entonces usando las ecuaciones (b.1) y (b.2) se obtienen las siguientes ecuaciones de estado (modelo dinámico):

ẋ1(t) =  –[pic 11][pic 12]

ẋ2(t) = x3(t)

ẋ3(t) =-  (x2(t) – l0) - x3(t) - g +     [pic 13][pic 14][pic 15]

1. Modelo estático:

Basándose en el modelo obtenido anteriormente, para encontrar el modelo estático hacemos todas las derivadas iguales a cero:

0=  –                                                                                                                              (c.1)[pic 16][pic 17]

0 = x30                                                                                                                                           (c.2)

0 =-  (x20 – l0) - x30 - g +                                                                     (c.3)[pic 18][pic 19][pic 20]

De (c.1) se obtiene que:

x10 =                                                                                                                                       (c.4)[pic 21]

Reemplazando (c.4) y (c.2) en (c.3):

0 =-  (x20 – l0) - g +                                                         [pic 22][pic 23]

Aplicando algebra se llega al modelo estacionario:

u0 =R                                                                                            (c.5)[pic 24]

Ahora, a partir de (c.5) podemos encontrar u01 tal que x201 = 0.3; u02 tal que x202 = 0.35 y u03 tal que x203 = 0.25, en efecto:

u01=2=  9.38 [volt]   [pic 25]

u02=2 =  10.1 [volt]                                             [pic 26]

u03=2 =  7.35 [volt]       [pic 27]

1. Simulación del sistema: 

Código empleado (en MATLAB) para resolver el modelo del sistema y graficar algunas cantidades considerando la entrada como e(t) = u01u(t) + (u02 – u01)u(t - 1) + (u03 – u02)u(t-5) y las condiciones iniciales x10=u0/R=4.69, x20=0.3, x30=0:

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