Vectores en el plano

Vectores en el plano

Un vector, , es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.

Dirección de un vector.

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector.

El sentido del vector es que va del origen A al extremo B.

Módulo de un vector.

El módulo del vector longitud del segmento AB, se representa por . El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

Ejercicios

Calcular el módulo del vector:

Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.

Vectores y coordenadas.

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplos:

Calcular las coordenadas de un vector cuyos extremos son:

Un vector tienen de coordenadas (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

Punto medio de un segmento.

Ejemplo

Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Tres puntos alineados.

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores tengan la misma dirección. Es decir si sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo.

Hallar el valor de a para que los puntos estén alineados.

Simétrico de un punto.

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'.

Calcular el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, −11).

Ejemplo.

Baricentro.

Las coordenadas del baricentro son:

Ejemplo.

Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), calcular las coordenadas del baricentro.

División de un segmento.

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en una relación r:

Ejemplo.

Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

Ejercicios.

1. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro.

2. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1).

3. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).

4. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

5. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

6. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).

7. Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

8. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga

Tipos de vectores.

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres.

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados.

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opuestos.

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios.

Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes.

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición.

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente independientes.

Varios vectores libres del plano son linealmente independientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente independientes.

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

1 = a2 = ••• = an = 0

Vectores ortogonales.

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales.

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

Ejercicios.

Dado el vector = (2, - 1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

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