Intención didáctica.

PRESENTACION

La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian los conceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variable, función y límite.

Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los esenciales del Cálculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cambio entre dos variables, noción de trascendental importancia en las aplicaciones de la ingeniería.

Esta asignatura contiene los conceptos básicos y esenciales para cualquier área de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico.

En el Cálculo diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con éxito cálculo integral, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, asignaturas de física y ciencias de la ingeniería. Además, encuentra, también, los principios y las bases para el modelado matemático.

Intención didáctica.

La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los números reales y sus propiedades básicas. Esto servirá de sustento para el estudio de las funciones de variable real, tema de la unidad dos.

En la tercera unidad se introduce el concepto de límite de una sucesión, caso particular de una función de variable natural. Una vez comprendido el límite de una sucesión se abordan los conceptos de límite y continuidad de una función de variable real.

En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razón de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una función continua de variable real.

También se estudian las reglas de derivación más comunes.

Finalmente, en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas de razón de cambio y optimización (máximos y mínimos).

INDICE

Unidad 3 Límites y continuidad.

3.1 Límite de una sucesión.

3.2 Límite de una función de variable real.

3.3 Cálculo de límites.

3.4 Propiedades de los límites.

3.5 Límites laterales.

3.6 Límites infinitos y límites al infinito.

3.7 Asíntotas.

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un Punto y en un intervalo.

3.9 Tipos de discontinuidades.

Unidad 4 Derivadas.

4.1 Conceptos de incremento y de razón de Cambio. La derivada de una función.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

4.3 Concepto de diferencial. Interpretación Geométrica de las diferenciales.

4.4 Propiedades de la derivada.

4.5 Regla de la cadena.

4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de Diferenciación.

4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.

4.8 Derivada de funciones implícita

Unidad 5 Aplicaciones de la Derivada.

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva En un punto. Curvas ortogonales.

5.2 Teorema de Rolle, teorema de LaGrange o Teorema del valor medio del cálculo Diferencial.

5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y Mínimos de una función. Criterio de la Primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para Máximos y mínimos.

5.4 Análisis de la variación de funciones

5.5 Cálculo de aproximaciones usando la Diferencial.

5.6 Problemas de optimización y de tasas Relacionadas.

INTRODUCCION

OBJETIVO GENERAL

Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una

Variable para modelar y de la derivada para resolver.

• Manejar operaciones algebraicas.

• Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

• Resolver ecuaciones simultaneas con dos incógnitas.

• Manejar razones trigonométricas e identidades trigonométricas.

• Identificar los lugares geométricos que representan rectas ó cónicas.

LIMITE DE UNA SUCECION

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite

Definición formal

El termino general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

.

Notación

o bien

O también

O simplemente

Propiedades

• Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.

• Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.

• Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

• Si una sucesión tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.

}

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función; la segunda, no es la gráfica de una función:

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula

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