QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Recuerde que en Matemáticas 1 vimos lo que es una ecuación lineal, y que su forma general es Ax+By+C= 0 , ahora pensemos en el siguiente problema 1: 

Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, en
cantidades que se indican en la tabla siguiente. La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Para la
corrida de fin de temporada, se requiere utilizar todo el inventario. Para hacer esto, ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones deben fabricarse?

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(Tomado del libro Matemáticas para Administración y Economía, editorial Pearson, 12° edición)

Sabemos que son tres cosas las que debemos averiguar (incógnitas):

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Ahora del problema podemos sacar 3 ecuaciones,

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Llegamos a 3 ecuaciones con 3 incógnitas, todas relacionadas entre sí lo que se conoce como un sistema 3x3, pero como todas las ecuaciones son lineales entonces es un sistema de ecuaciones lineales (SEL) DE TAMAÑO 3x3. Cuyas VARIABLES son: x,y,z.

Para profundizar en esta temática puede revisar el Texto Guía Matemáticas para Administración y Economía. Autores: Ernest F Haeussler, Jr., Richard S. Paul y Richard J. Wood. Editorial: Pearson, Prentice- Hall. Capítulo 3 sección 4. Sistemas de
ecuaciones lineales.

Las actividades de práctica correspondiente a esta sección se encuentran en la página número 1 y 2 del recurso Lección 1- Actividades.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales no basta con plantear el sistema de ecuaciones, es necesario resolverlo: que significa encontrar el valor
o los valores que pueden tomar cada una de las variables del sistema. Para esta labor contamos con varios métodos dependiendo del tamaño del sistema, en
nuestro curso estudiaremos 2 que se pueden utilizar para sistemas de cualquier tamaño: eliminación de Gauss y eliminación de Gauss- Jordán.

Antes de estudiar los métodos conoceremos algunos conceptos que nos permitirán apropiarnos adecuadamente de cada uno de los conceptos siguientes.

Retomando el sistema al que llegamos en el problema 1,[pic 5]

de este sistema vamos a definir lo que se conoce como MATRIZ AUMENTADA DEL SISTEMA así:

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Siempre que tengamos un sistema de ecuaciones lineales se puede dar una y solo una de las siguientes opciones para su solución:

•  El sistema tiene solución única
•  El sistema tiene infinitas soluciones
•  El sistema no tiene solución o es inconsistente.

En las secciones siguientes estudiaremos ejemplos de estas soluciones.

Para profundizar en esta temática puede revisar el Texto Guía Matemáticas para Administración y Economía. Autores: Ernest F Haeussler, Jr., Richard S. Paul y Richard J. Wood. Editorial: Pearson, Prentice- Hall. Capítulo 6 sección 4. Resolución de
sistemas mediante la reducción de matrices.

Las actividades de práctica correspondiente a esta sección se encuentran en la página número 3 del recurso Lección 1- Actividades.

MÉTODO 1: ELIMINACIÓN GAUSS

Hasta ahora hemos visto algunas generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales, a continuación aprenderemos el primero de los métodos generales para resolver sistemas de ecuaciones lineales que es eliminación de Gauss.

Una vez se obtiene la matriz aumentada del sistema, (continuaremos trabajando con nuestro problema 1), cuya matriz aumentada es: 

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El método consiste en convertir esta la matriz aumentada del sistema en una matriz de la forma escalonada. 

Diremos entonces qué es una matriz escalonada y las operaciones que se pueden realizar a la matriz aumentada para convertirla en escalonada.

MATRIZ ESCALONADA.

Una matriz de tamaño mxn es escalonada si cumple las siguientes condiciones:

1. todas las filas que constan sólo de ceros, si las hay, están en la parte inferior de la matriz.

2. El primer elemento distinto de cero en la fila, al leer de izquierda a derecha, es un 1. Este elemento se denomina uno principal o pivote de la fila.

3. Para cada fila que no consta sólo de ceros, el uno principal aparece a la derecha debajo de cualquier uno principal en las filas que le preceden.

Veamos algunos ejemplos de matrices escalonadas.

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Los elementos encerrados en rojo son los pivotes de cada matriz escalonada

OPERACIONES ENTRE ELEMENTALES ENTRE FILAS DE UNA MATRIZ

Las operaciones elementales entre filas son las que me permiten convertir la matriz aumentada del sistema en una matriz escalonada, son 3 las posibles operaciones.

1. Intercambiar dos filas 

2. multiplicar (dividir) una fila por un número diferente de cero

3. sumar (restar) un múltiplo de una fila a otra.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS: consiste en convertir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales  en una matriz de la forma escalonada mediante operaciones elementales entre filas (renglones).

Entonces apliquemos este método para resolver el sistema del problema 1. La matriz aumentada del sistema es: 

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Con la matriz obtenida volvemos a aplicar operaciones elementales 

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Llegamos así a un sistema más sencillo que el inicial y es 

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Como ya sabemos cuanto vale z=200 podemos reemplazar en la segunda ecuación para obtener el valor de y, así

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Y conociendo el valor de y y z reemplazamos en la primera ecuación y obtenemos x,

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Retomando el enunciado del problema para recordar lo que se nos pregunta 

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