Toma de decisiones y Metodos Cuantitativos

Métodos Cuantitativos Parte 1

Tema 1: Introducción

Índice

1.Desarrollo de la Investigación Operativa

2.Modelización: concepto y desarrollo

3.Optimización en Investigación Operativa

1       Desarrollo de la Investigación Operativa

La investigación científica puede separarse en dos aspectos:

● Investigación pura → Conocer las cosas mejor

● Investigación aplicada → Hacer las cosas mejor

La consecuencia de la investigación aplicada es el desarrollo de una metodología para llegar a resultados cuantitativos, que suponen la base de las decisiones económicas, técnicas, etc.

Esta metodología es la que se conoce como Investigación Operativa

 (Un poco de historia…)

● Desde la civilización egipcia (4000 a. C.), la necesidad de planificación y organización se hace necesaria, desarrollándose durante toda la Antigüedad (China, Grecia, Roma…)

● Sin embargo, la época de mayor expansión no llega hasta la I Revolución Industrial, en parte por el desarrollo paralelo de las matemáticas

● Los orígenes matemáticos de la Investigación Operativa suelen establecerse en los trabajos de matemáticos como Jordan, Minkowski o Farkas a finales del siglo XIX

 ● Los orígenes probabilísticos se sitúan en las investigaciones de Erlang sobre tiempos de espera en los años 20

● Los orígenes en economía se deben a los modelos de programación lineal establecidos por Quesnay (S. XVIII) y Walras (S.XIX)

● Finalmente, el término de Investigación Operativa se acuña durante la Segunda Guerra Mundial.

● Al terminar la guerra, los modelos aplicados en la misma siguieron desarrollándose en la industria y la universidad, por dos motivos:

               ● La creciente competitividad industrial

               ● El desarrollo de la computación

Definición de Investigación Operativa (Ackoff, Arnolff y Churchman):

“La investigación operativa es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (Hombre-Máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”

2   Modelización

La modelización puede definirse como la representación teórica y simplificada de un problema real.

● Es conveniente conjugar fidelidad con simplificación: un modelo no puede ser demasiado simple ni demasiado complejo.

● La fase de construcción de un modelo comprende:

● Determinación de los componentes del modelo (variables, resultados, parámetros...)

● Determinación de la estructura (expresiones matemáticas)

● Determinación del principio de elección (optimización, satisfacción...)

● Generación de alternativas, predicción, y medición de resultados

● Elección de un escenario de aplicación

A    Estructura de los modelos en Investigación Operativa

“Una empresa desea planifcar su producción diaria de dos artículos A y B. La empresa puede disponer de un máximo de 12 horas diarias de mano de obra. Cada unidad de A requiere 3 horas, mientras que cada unidad de B requiere 2. Por otro lado, la producción requiere un input I del que la empresa puede disponer como máximo de 10 unidades diarias. Cada unidad de A requiere una unidad de I, mientras que cada unidad de B requiere 2 unidades de I. ¿Cuál es la máxima producción diaria que puede conseguir la empresa?, ¿que cantidad debe producir para ello de cada artículo?”

Siendo x1 la cantidad diaria producida de A y x2 la de B ¿Cuáles son los mejores valores posibles para x1 y x2?

● Sabemos que la producción diaria (x1, x2) requiere 3x1 + 2x2 horas

 ● Sabemos que también requiere una cantidad x1 + 2x2 del input I

Por tanto, sólo nos valen las soluciones que satisfacen:

3x1 + 2x2 ≤ 12

 x1 + 2x2 ≤ 10

● Y como la producción no puede ser negativa, x1 y x2 ≥ 0

Hay infinitas soluciones que satisfacen estas restricciones, pero nos interesa la mejor; en este caso, la que maximiza la producción (que se designaría como x1 + x2). La formulación matemática queda:

Máx. Z = x1 + x2

s.a. (sujeto a) 3x1 + 2x2 ≤ 12

x1 + 2x2 ≤ 10

x1, x2 ≥ 0

Para determinar un problema de programación matemática, hemos de especificar tres conjuntos básicos de elementos:

● Las variables principales o de decisión del modelo, para las cuales queremos encontrar el mejor valor posible.

 ● En el problema anterior, estas variables serían las de producción, x1 y x2

● En general, se mantiene la notación para las variables principales: x1, x2, …, xn

● Las restricciones, que son condiciones que imponemos a las variables para que una solución sea admisible.

● En nuestro ejemplo, las restricciones son 3x1 + 2x2 ≤ 12, x1 + 2x2 ≤ 10, x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0

● En general, consideramos tres tipos de restricciones:

                          ● De menor o igual: g(X) ≤ b

                         ● De mayor o igual: g(X) ≥ b

                         ● De igualdad: g(X) = b

Las de no negatividad: x1, … , xn ≥ 0 suelen considerarse aparte 

● La función objetivo, que es la función f que queremos maximizar o minimizar.

          ● En nuestro ejemplo, la función objetivo es f(x1,x2) = x1 + x2

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