MODELADO DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN EN SCILAB

MODELADO DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN EN SCILAB

A continuación se realizará la simulación de un sistema descrito por una ecuación diferencial de segundo orden. En este sistema de control se simula un sistema mecánico que contiene una masa M sometida a una fuerza externa f(t) y unida a un resorte de constante elástica K, y con un coeficiente de fricción viscosa B, como se describe en la figura:

[pic 1]

Sistema de control mecánico masa – resorte – amortiguador.

El objetivo del sistema de control mecánico es ver cómo afecta la fuerza aplicada f(t) al desplazamiento de la masa, descrito por x(t) . La ecuación diferencial que rige el comportamiento de este sistema se puede obtener mediante la segunda ley de Newton y es el siguiente:

[pic 2]

Donde la sumatoria de las fuerzas es igual a 0.

Dentro de SCILAB se requiere ingresar al entorno gráfico para realizar este modelado. La herramienta que se utiliza es XCOS y se puede acceder a ella de la siguiente manera:

Paso en XCOS para modelar el sistema:

[pic 3]

Escribiendo XCOS desde la interfaz de SCILAB y presionando la tecla enter. Luego se desplegará automáticamente la paleta de objetos de XCOS y su entorno de trabajo.

[pic 4]

1. Lo primero que debe hacerse en XCOS es definir la salida del sistema despejando su máxima derivada. Esto a partir de la ecuación descrita anteriormente.

Ecuación del sistema:

[pic 5]

En este caso, el término de su máxima derivada es el elemento que acompaña a la masa (ya que su exponente es 2, el mayor de todos). En este sentido al despejar el término se tiene:

[pic 6]

1. Como siguiente paso se diseña en XCOS el diagrama de bloques considerando un integrador en cascada o en serie como orden tenga el sistema.

Como el máximo elemento tiene exponente 2, entonces hay dos integradores que deben graficarse. Desde el punto de vista matemático la salida del sistema  es la salida del último integrador, mientras que de manera forzada la entrada del segundo integrador es , la cual es la salida del primer integrados lo que indica que su entrada deberá ser [pic 7][pic 8][pic 9]

De manera gráfica:

[pic 10]

1. Luego se deben asignarlos parámetros del sistema, considere que el sistema mecánico que se está evaluando tiene los valores:

1. M = 1 Kg.
2. K = 10 Nt seg/m
3. B = 1 Nt

Es posible que el diagrama de bloques de XCOS utilice estas mismas letras para denotar a las variables de la ecuación, para lograr esto se debe configurar el contexto en el programa.

En el menú: simulación (o simulation si SCILAB es configurado en inglés), hacer clic en Asignar contexto (Set Context), se desplegará una pequeña pantalla donde se escribirán los valores de M, K y B.

[pic 11]

1. Luego de asignar el contexto se debe obtener la máxima derivada requerida mediante la ecuación del sistema. Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo la ecuación requiere solo de sumas, restas y multiplicaciones por constantes (ganancias constantes). El diagrama de un sistema se muestra en la siguiente imagen:

[pic 12]

En la imagen anterior se muestra el diagrama de la ecuación diferencial, note cómo se ubican las ganancias que representan los coeficientes de la ecuación del sistema.

1. En la imagen anterior se tiene el diagrama de bloques, sin embargo no hay entradas conectadas ni equipos que permitan visualizar la salida del sistema. En este sentido, se probará el sistema con una entrada generada f(t), para lo que se incorporará el bloque “STEP_FUNTION” o señal escalón, que generará una función escalón unitario.

Por otro lado la salida se visualiza a través de un bloque CSCOPE (que representa un osciloscopio), el diagrama al conectar estos elementos queda de la siguiente manera:

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