Método Gráfico De La Programación Lineal

MÉTODO GRÁFICO

Los pasos a seguir para resolver un modelo de programación lineal de dos variables de decisión usando el método gráfico son:

Paso 1: Dibujar la región de soluciones factibles.

Paso 2: Dibujar algunas isocuantas de la función objetivo, es decir curvas en el plano donde para cualquier punto sobre cada una de ellas la función objetivo tiene un valor constante.

Las ecuaciones de estas curvas son de la forma Z = const.

Paso 3: Ubicar el vértice de la región factible donde ocurre el máximo o el mínimo dependiendo de la dirección en que crecen o decrecen las isocuantas. Una isocuanta crece en la dirección en que la función objetivo aumenta su valor y decrece en la dirección en que la función objetivo disminuye su valor.

GRAFICACIÓN DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES

Para determinar la región del plano que satisface una desigualdad de la forma

aX1 + bX2 + c £ 0 se procede de la siguiente manera:

Se dibuja en primer lugar la ecuación ignorando la desigualdad, es decir, graficamos

aX1 + bX2 + c = 0:

La recta aX1 + bX2 + c = 0 determina en el plano dos semiplanos denominados I y II.

Los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad aX1 + bX2 + c = 0, los puntos fuera de la recta en los semiplanos I y II satisfacen las desigualdades (> ó < ).

_ _c_a

Para determinar cuál de los dos semiplanos satisface la desigualdad

aX1 + bX2 + c < 0 se escoge un punto arbitrario del semiplano I o del II, y se reemplaza en la desigualdad.

Por ejemplo, puede escogerse el origen (0, 0); si éste satisface la desigualdad, entonces todos los puntos del semiplano I que contiene a (0, 0) la satisfacen, en caso contrario la desigualdad la verifican los puntos de la región II.

Ejemplo: Gráficar la región del plano que satisface la desigualdad 2x1 + 3x2 £ 6

Solución: Se grafica la ecuación 2x1 + 3x2 = 6:

X2

X1

Tomamos (0, 0) como punto de prueba:

2(0) + 3(0) < 6

0 < 6 Verdadero

Por lo tanto la región sombreada que contiene el punto de prueba, satisface la desigualdad y los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad.

Ejemplo: Dibujar la región del plano cuyos puntos satisfacen las restricciones.

2x1 + x2 £ 4

x1 + x2 ³ 1

x1 ³ 0 , x2 ³ 0

Solución:

2x1 + x2 = 4;

Punto de prueba (0, 0); 0 £ 4 Verdadero

x1 + x2 = 1 :

Punto de prueba (0, 0): 0 ³ 1 Falso.

x1³ 0 y x2³ 0, primer cuadrante:

Por lo tanto, la región del plano que satisface las restricciones dadas es la intersección de las tres regiones anteriores:

Para mayor claridad, la región se muestra en la gráfica siguiente:

ISOCUANTAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Para un modelo de programación lineal con dos variables de decisión se tiene que la función objetivo es:

Z = c1 x1 + c2 x2

Esta es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional.

Las isocuantas (curvas de nivel) se obtienen dando valores fijos a la variable “Z” obteniéndose una familia de rectas en el plano “x1-x2“. Si Z = k con k constante tenemos:

c1 x1 + c2 x2 = k, distintos valores de k darán diferentes elementos de la familia de rectas.

Ejemplo: Dibujar las Isocuantas de la función Z = 3x1 + 2x2 ,cuando Z = 6, Z =

12, Z = 18 en el mismo plano.

Solución:

Si Z = 6 3x1 + 2x2 = 6

Si Z = 12 3x1 + 2x2 = 12

Si Z = 18 3x1 + 2x2 = 18

Ejemplo Formulación de Modelos:

Una planta industrial puede manufacturar 5 productos (A, B, C, D, E) en cualquier combinación. Cada producto requiere tiempo en 3 máquinas como se muestra en la tabla. Cada máquina está disponible 128 horas a la semana. Los productos son netamente competitivos y cualquier cantidad fabricada puede venderse a $5, $4, $5, $4, $4 la libra respectivamente.

Los costos variables por hora de trabajo son $4 para las máquinas 1 y 2, y $3 para la máquina 3. Los costos de material para cada línea de producto son $2 para A y C y $1 para B, D, E por libra.

Construya un modelo de programación lineal que permita determinar el nivel óptimo de producción (ver Cuadro . Ejemplo 1.3)

Solución:

El nivel óptimo de producción es el número de unidades (libras) a producir de cada producto A, B, C, D, E, con el fin de obtener la mayor utilidad.

Definición de variables.

Variable a optimizar:

Z: Utilidad en pesos.

Variables de decisión:

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 : Número de libras a producir de A, B,C,D y E, respectivamente.

La información básica del sistema de producción se presenta en el siguiente cuadro.

Construcción de la función objetivo: Para construir la función objetivo se requiere conocer la utilidad por libra de cada producto.

Costos por libra de cada producto:

Una libra de producto A requiere:

De igual forma obtenemos los costos por libra de los otros productos que aparecen en la tabla.

La utilidad por libra de cada producto se obtiene restando del precio de venta por libra el costo por libra. Se propone al lector la verificación de las cifras en la siguiente tabla:

Por lo tanto la función de utilidad se construye sumando la utilidad total obtenida para x1 libras de A, x2 libras de B, x3 libras de C, x4 libras de D, x5 libras de E obteniéndose:

Z = 1.417x1 + 1.433x2 + 1.85x3 + 2.183x4 + 1.7x5

Construcción

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