Programación lineal, mediante el método gráfico

Competencia  

Estándar  

Propósito de aprendizaje

• Aplica los sistemas de inecuaciones lineales y el conjunto de soluciones factibles para hallar los puntos extremos y la solución óptima en problemas de programación lineal.

• Comprender los conceptos básicos de programación lineal, incluyendo variables, restricciones y función objetivo.
• Identificar problemas del mundo real que puedan ser abordados mediante programación lineal.
• Formular modelos matemáticos lineales adecuados para representar situaciones problemáticas específicas.
• Aplicar el método simplex para resolver problemas de programación lineal de manera precisa y sistemática.
• Demostrar habilidades para interpretar e implementar las soluciones óptimas obtenidas en problemas de programación lineal.
• Reconocer y resolver problemas de programación lineal con restricciones adicionales, como restricciones de igualdad o no negatividad.
• Utilizar software especializado o herramientas de programación para resolver problemas de programación lineal.
• Analizar y evaluar críticamente las soluciones obtenidas, considerando la factibilidad, la sensibilidad y la eficiencia.
• Comunicar de manera clara y coherente los resultados y conclusiones de los problemas resueltos utilizando programación lineal.
• Aplicar los conceptos y técnicas de programación lineal en diferentes contextos, como la gestión de recursos, la logística o la planificación financiera.

Utiliza métodos gráficos y analíticos para la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales y de inecuaciones,

para determinar el conjunto de soluciones factibles y la solución óptima de un

problema de programación lineal.

Capacidades

• Identifica situaciones de la vida real que pueden ser abordadas mediante programación lineal.
• Traduce problemas del mundo real en modelos matemáticos lineales, identificando correctamente las variables y las restricciones involucradas.
• Explica de manera clara y precisa la relación entre el modelo matemático y la situación problemática original.
• Aplica correctamente los algoritmos y métodos de resolución de problemas de programación lineal, como el método gráfico.
• Realiza cálculos matemáticos precisos y detallados durante el proceso de resolución.
• Obtiene soluciones óptimas y factibles para problemas de programación lineal, siguiendo correctamente los pasos del proceso de resolución.
• Analiza y evalúa las soluciones obtenidas en problemas de programación lineal, identificando su viabilidad y eficacia en el contexto del problema original.
• Interpreta correctamente los valores de las variables y las restricciones presentes en la solución.
• Comunica de manera clara y coherente las conclusiones y recomendaciones basadas en los resultados obtenidos.

Criterios de evaluación

Evidencias del aprendizaje

1. Entiende el contexto de un problema de la vida que requiere optimización, maximizar o minimizar una función. Encuentra la función objetivo
2. Transforma sentencias del lenguaje común a expresiones de lenguaje algebraico
3. Aplica el concepto de restricciones mediante el uso de inecuaciones
4. Grafica en un plano cartesiano, ecuaciones e inecuaciones.
5. Resuelve sistemas de ecuaciones con el método preferido del estudiante
6. Aplica el concepto de unión e intersección de conjuntos, en el plano cartesiano para encontrar planos sobrepuestos y encontrar la zona factible.
7. Encuentra el conjunto de solución óptima
8. Optimiza la función objetivo
9. Explica los resultados encontrados utilizando lenguaje común.

• Resuelve problemas de programación lineal
• Explica los procesos que debe seguir para resolver problemas de programación lineal. 

Momentos

Actividades y/o estrategias

Inicio

• Se da la bienvenida y se saluda a los estudiantes.
• Se Realiza una introducción al concepto de programación lineal, mediante una pregunta exploratoria.

Si tienes una panadería, ¿cómo se puede determinar la mejor manera de usar nuestros recursos limitados para obtener la mayor cantidad de beneficios económicos?

• Se forma equipos de trabajo de tres personas por afinidad y se entrega el material concreto: 10 granos de maíz y seis de fréjol.
• Una vez formado los equipos, se procede a plantear el siguiente problema:

Una fábrica produce dos tipos de balanceados para perro: el balanceado SuperCan requiere de 2 libras de maíz y una libra de fréjol; mientras que el balanceado Mi Mascota, requiere 3 libras de maíz y 2 libras de fréjol. La fábrica tiene disponibles 10 libras de maíz y 6 libras de fréjol, por día. El balanceado SuperCan genera un beneficio de $15 y el balanceado Mi Mascota $20. ¿Cuántas fundas de cada tipo de balanceado se debería producir para maximizar el beneficio diario, si se sabe que se puede vender todos los balanceados que se produzca?

• Se pide a los estudiantes que expliquen con sus propias palabras el problema planteado
• Presenta el propósito de la sesión: el tema de esta semana es aprender a resolver problemas de programación lineal, para lo cual, se utilizará varios conocimientos previos para establecer un procedimiento de resolución
• Se presenta los criterios de evaluación para estas actividades.
• Se establece las normas de funcionamiento de los grupos.

Desarrollo

Familiarización con el problema:

1. Actividades lúdicas: resolver el problema planteado

Actividades:

1. Se divide al curso en grupos de tres personas
2. A los grupos formados se les entrega el material: una hoja con el ejercicio propuesto y las indicaciones, 10 granos de maíz y 6 granos de fréjol.
3. Con los granos de maíz y de fréjol, deben simular la resolución del problema. Primero, formando más fundas del balanceado SuperCan; segundo, formado más fundas del balanceado Mi Mascota; y tercero, haciendo una combinación de los dos balanceados. En la hoja deben escribir los resultados obtenidos y el dinero que podrían ganar.
4. Los estudiantes exponen verbalmente sus conclusiones.

1. Lectura

LA PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática utilizada para resolver problemas de optimización. Se basa en encontrar la mejor solución posible dentro de un conjunto de posibles soluciones, sujeto a ciertas restricciones.

En la programación lineal, los problemas se modelan mediante ecuaciones lineales y desigualdades lineales. El objetivo es maximizar o minimizar una función lineal, llamada función objetivo, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Aplicaciones de la programación lineal:

La programación lineal tiene una amplia gama de aplicaciones en diversos campos. Algunas de las principales áreas en las que se utiliza la programación lineal son:

1. Optimización de la cadena de suministro: La programación lineal se utiliza para optimizar la planificación de la producción, el transporte y la distribución de productos, minimizando los costos de almacenamiento, transporte y producción.

1. Gestión de inventarios: Permite determinar la cantidad óptima de inventario a mantener, considerando la demanda, los costos de almacenamiento y las restricciones de producción, con el objetivo de minimizar los costos totales.

1. Planificación de la producción: Ayuda a determinar la mejor forma de asignar recursos, como mano de obra y maquinaria, para maximizar la producción y minimizar los costos.

1. Asignación de recursos en proyectos: Se utiliza para asignar recursos, como el tiempo, el personal y el equipo, de manera óptima en proyectos, maximizando la eficiencia y minimizando los costos.

1. Optimización de rutas y transporte: La programación lineal se utiliza para optimizar la planificación de rutas de entrega, asignación de vehículos y programación de horarios, reduciendo los costos de transporte y mejorando la eficiencia logística.

1. Planificación financiera: Ayuda a tomar decisiones sobre la asignación de fondos y la inversión de recursos financieros de manera óptima, maximizando los rendimientos o minimizando los riesgos.

1. Optimización en marketing y publicidad: Permite optimizar la asignación de presupuesto publicitario y determinar las mejores estrategias de marketing para maximizar el impacto y los beneficios.

Responde: ¿En qué podrías aplicar la programación lineal?  ¿Qué estrategias matemáticas podemos utilizar para resolver problemas en los que debemos tomar decisiones sobre cómo distribuir y asignar los escasos recursos?

Búsqueda y ejecución de estrategias matemáticas

1. Orientar a los grupos a que expresen en lenguaje matemático, las proposiciones del lenguaje normal que posee el ejercicio.

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1. Formar la función objetivo

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1. Orientar a los grupos para que las expresiones matemáticas sean ordenadas en una tabla.

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1. Encontrar las restricciones del problema

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1. Graficar las inecuaciones en un plano cartesiano y encontrar las intersecciones de los planos formados

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1. Especificar el concepto de zona factible y solución óptima
2. Optimizar la función objetivo
3. El docente acompaña el trabajo de los grupos, resuelve las inquietudes y orienta el trabajo

Presentación de resultados

1. Dos grupos al azar presentan el ejercicio a la clase,
2. Los estudiantes explican el procedimiento para la resolución del problema.
3. Los estudiantes presentan sus conclusiones acerca de la utilidad de la programación línea

Cierre

Cierre:

-        Realiza las siguientes preguntas: ¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿Qué fue lo que más les agrado? ¿Fue fácil?, ¿qué? ¿Fue difícil?, ¿cómo lo superaron? ¿En dónde podemos usar estos aprendizajes?

-        Evalúa el cumplimiento de los acuerdos.

Felicítalos por el esfuerzo realizado.