Algebra lineal colaborativo 1

1.    Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1.                [pic 1]

1.2.                [pic 2]

Solución:

[pic 3]

Empleando la matriz ampliada:

 -1*→[pic 4][pic 5]

 2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

        2.1.        [pic 6]      y    [pic 7] 

        2.2.        [pic 8]       y    [pic 9]

        2.3.        [pic 10]      y    [pic 11]

2.1.        [pic 12]      y    [pic 13]

Solución:  Entonces [pic 14]. [pic 15] = ( -8)(-6) + (-4)(-4) = 48 + 16 = 64

|[pic 16]| =  =  =  =  = 4[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

 Y |[pic 22]| =   =  =  =  = 2[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Entonces   =  =  =  =  racionalizando el denominador[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

 Entonces  =  = 7.125° aproximadamente o sea  = 7° 07ʼ30. 06ʺ es el ángulo     que forma los vectores  [pic 35]y [pic 36].[pic 32][pic 33][pic 34]

2.2. [pic 37]       y    [pic 38]

Solución: [pic 39]. [pic 40] = ( -1)(-1) + (3)(-5) = 1-15 = - 14

|[pic 41]| =  =  y  |[pic 44]| =   =  entonces[pic 42][pic 43][pic 45][pic 46]

 =  =  =    =   =    [pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

  =   =  =   = 150.255° aproximadamente o sea  = 150° 15ʼ 18.43ʺ es el ángulo que forma los vectores  [pic 58]y [pic 59].[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

2.3.        [pic 60]      y    [pic 61]   

Solución:  [pic 62].  [pic 63] =  ( -1)(-1) + (3)(-5) + (2)(-1) = 1-15-2 = - 16

[pic 64] =  =  y  [pic 67] =   = [pic 65][pic 66][pic 68][pic 69]

Por lo tanto  =  =    =     =   [pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

 =   =  y por lo tanto   = 145.381° aproximadamente o sea  =[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

145°22ʼ52.75ʺ es el ángulo que forma los vectores [pic 80]y  [pic 81].

3, Dada la siguiente matriz, encuentre [pic 82] empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

[pic 83]

Por el método de Gauss – Jordan se obtiene así: se escribe la matriz ampliada que incluya la matriz identidad a la derecha a la derecha de la matriz c, así:

 f2 + 7f1  [pic 84][pic 85][pic 86]

La nueva fila 2 de la matriz se obtiene multiplicando todos los elementos de la fila 1 de la matriz por 7 y se le agrega a la fila 2 así:

7 *    [pic 87][pic 88][pic 89]

1 *   [pic 90][pic 91][pic 92]

Nueva fila 2 de la matriz          [pic 93]

  f2f3[pic 94][pic 95][pic 96]

La nueva fila 1 de la matriz se obtiene multiplicando por -1 todos los elementos de esa primera fila

-1 *    [pic 97][pic 98][pic 99]

Entonces se intercambian las filas 2 y 3 de la matriz pasando la fila 2 a ser la fila 3 y la fila 3 pasa a ser la fila 2, entonces

   f1 +  f2  [pic 100][pic 101][pic 102]

     f3-8f2

es decir que se hicieron dos operaciones elementales para obtener la nueva fila 1 y la nueva fila 3 así:

1 *      [pic 103][pic 104][pic 105]

+ *   [pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

                                             es la nueva fila 1 que se obtiene[pic 110]

Y -8 *   [pic 111][pic 112][pic 113]

+ 1 *   [pic 114][pic 115][pic 116]

                                            es la nueva fila 3 que se obtiene[pic 117]

Entonces se obtiene la matriz:

   f2[pic 118][pic 119][pic 120]

La nueva fila 2 se obtiene así:

  *   [pic 121][pic 122][pic 123][pic 124]

La matriz queda así:

 f2  f3[pic 125][pic 126]

...