Calculo Diferencial

Introducción

El cálculo diferencial es una de las ramas de las matemáticas más importantes, en general, ellas están presentes en todo, y nunca dejamos de verlas a lo largo de la vida. Se relaciona a su vez, con todo lo que existe en el mundo y con otras asignaturas y ciencias. En específico, con la ciencia y la tecnología, nosotros solo nos limitamos a estudiarlo para aprobar alguna asignatura o terminar algún grado académico, es por ello, que lo tomamos aburrido al ser solo por compromiso o responsabilidad y por ende también no tenemos buenos hábitos de estudio que nos dificultan el aprendizaje, tampoco es imposible el llevar un proceso de estudio teórico-práctico de buen modo. En este proyecto que tratará los temas de límites y derivadas, se adjuntarán citas y métodos de resolución de problemas plasmados en importantes libros para el aprendizaje matemático de algunos autores importantes así como también usando las tecnologías actuales, otros comentarios o reseñas de medios como blogs de internet o vídeos educativos; también al final de cada sección, se incluirá mi opinión personal y unas breves conclusiones.

Contenido:

3-LÍMITES

3.1 Límite de una sucesión.

3.2 Límite de una función de variable real.

3.3 Cálculo de límites.

3.4Propiedades de los límites.

3.4 Límites laterales.

3.6 Límites infinitos y límites al infinito.

3.7 Asíntotas.

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.

3.9 Continuidad.

4-DERIVADAS

4.1 Incremento y razón de cambio.

4.2 Interpretación geométrica de la derivada.

4.3 Concepto de diferencial, interpretación geométrica de la diferencial.

4.4 Propiedades de la derivada.

4.5 Regla de la cadena

4.6 Fórmulas: Derivación y diferenciación.

4.7 Derivadas de orden superior y regla L'Hôpital.

4.8 Derivación de funciones implícitas.

Límites:

Básicamente, hay que empezar por tener un concepto textual de lo que es un límite; el libro de Granville lo define así: “Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera. La relación así definida se escribe:

lim v = l.

Por conveniencia, nos serviremos de la notación v ---> l, que se leerá "v tiende hacia el límite l" o, más brevemente, "v tiende a".

Y nos incluye un ejemplo:

EJEMPLO. Si u toma la sucesión infinita de valores

Es evidente que u -72 al crecer n es decir lim u = 2.

-Nota- u puede ser cualquier valor.

Otra definición un poco más simple y solo teórica es la que nos da la Real Academia de la Lengua Española: “Es una secuencia infinita de magnitudes o una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de la secuencia. Así, la secuencia de los números 2n/(n+1), siendo n la serie de los números naturales, tiene como límite el número 2.”

A continuación, se verán más ejemplos y diferencias de los tipos de límites.

1.1 Límite de una sucesión.

En un blog de internet encontré la siguiente información, ya que fue la que se me hizo más fácil de entender respecto al tema: “El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente si no tiene limite (indeterminación o tiende al infinito).

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

1.2 Límite de una función de variable real.

La Universidad Nacional de Colombia define este concepto de la siguiente forma: “Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R”:

f:D————->R

x————->x2.

Mientras que Schaum lo enuncia así: “Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1. El conjunto inicial o dominio de la función.

2. El conjunto final o imagen de la función.

3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

Asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

1.3 Cálculo de límites.

Esta es probablemente la sección más entendible, previamente, en clases fue explicado por el profesor a diferencia de los otros temas.

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

1.4 Propiedades de los límites.

Enunciados de la siguiente manera, según el libro de Javier Pérez González “Cálculo diferencial e integral.”

De forma distinta en una página tutora de matemáticas en internet:

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