El cálculo diferencial

CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 1

ADRIANA MARCELA MANRIQUE CORTES

C.C. 1.080.933.055

JEAM PIERRE AMARIS DOMINGUEZ

Tutora

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES,

ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS

COLOMBIA, SEPTIEMBRE 2014

INTRODUCCIÓN

Las matemática es una ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de teorías y definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lógica, los axiomas y postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior, especialmente la deducción, inducción y la abstracción, pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se requiere trabajar el sentido del análisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fáciles de activar en la mente humana.

El cálculo diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727) entre otros, intentaron describir la velocidadinstantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica cual es el problema de la recta tangente a una curva en un punto.

Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Con el paso del tiempo las posibilidades de aplicación del cálculo se han ampliado.

OBJETIVO GENERAL

Determinar y hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones aritméticas y progresiones geométricas, determinar sus características, su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos y su sentido de variación.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Identificar los principios y características de las sucesiones.

Hallar los primeros términos de una sucesión, a partir de su término general, dado los primeros términos de una sucesión, y la relación de recurrencia

Hallar el término general, en caso de ser posible; o aún, dados los primeros términos de una sucesión, hallar una sucesión que se ajuste a estos términos.

Determinar el sentido de variación de una sucesión, su período (si existe), una cota superior y una cota inferior (si existen).

Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones aritméticas y determinar sus características.

Hallar su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos y su sentido de variación.

Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones geométricas y determinar sus características: su razón común, su primer término, la suma de sus primeros términos y su sentido de variación.

Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas convergen.

Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas divergen.

1. Determine si la sucesión V_n=2(2n+1)/(n+1) es convergente o divergente. demuéstrelo paso a paso.

V_n=2(2n+1)/(n+1) |V_n |<ε |2(2n+1)/(n+1)|<ε ( 2(2n+1))/(n+1)<ε (4n+2)/(n+1)<ε

4n+2<ε(n+1) 4n+2<εn+ε 2-ε<εn-4n 2-ε<n(ε-4)

(2-ε)/(ε-4)<n (2-1000)/(1000-4)<n n>-499/498 (2-(-1000))/(-1000-4)<n n>-501/502

2. Sucesiones monótonas. demostrar que W_n=[(n+2)/n] es estrictamente creciente o decreciente. demuéstrelo paso a paso.

W_n=[(n+2)/n] (n+1+2)/(n+1)-(n+2)/n (n+3)/(n+1)-(n+2)/n (n(n+3)-(n+1)(n+2))/(n(n+1))

(n^2+3n-(n^2+2n+n+2))/(n^2+n) (n^2+3n-n^2-2n-n-2)/(n^2+n) (-2)/(n^2+n)

(-2)/(〖1000〗^2+1000)=-0.0000019 (-2)/(0^2+0) (-2)/(〖(-1000)〗^2-1000)=-0.0000020

W_(n+1)<W_(n ) (n+3)/(n+1)<(n+2)/n

Sucesión estrictamente decreciente.

Hallar el término general de las siguientes progresiones, manifieste si son aritméticas o geométricas:

3. C_o={0,1/4,1/2,3/4,…} d=0.25〖 U〗_a=0 U_n=U_a+(n-a)d

U_n=0.25(n-1) U_n=0.25n-0.25〖 U〗_5=0.25(5)-0.25〖 U〗_5=1

es progresión aritmética.

4. C_o={1,-1/2,1/4,-1/8,1/16,…} (-1/2)/1=-1/(2 ) (1/4)/(-1/2)=-1/2 q=-1/2 〖 U〗_a=1

U_n=(-1/2)^(n-1) U_6=(-1/2)^(6-1) U_6=(-1/2)^5 U_6=-1/32

es progresión geométrica.

5. C_o={2,(2√3)/3,2/3,(2√3)/9,…}

Es una progresión geométrica.

la suma de los números múltiplos de 9 menores o iguales a 2304. ¿Cuántos términos hay?

2304 es múltiplo de 9 ya que contiene a 9 decientas cincuenta y seis veces.

2304:9=256

9*256=2304

7. la suma de los números pares de cuatro cifras. ¿Cuántos términos hay?

2, 4, 6,8

2468, 4682, 6824, 8246

2684, 4826, 6248, 8462,

2846, 4268, 6482, 8624

2486, 4628, 6842, 8264

Hay 16 pares de cuatro cifras

en una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

a_3=24 y a_7=66 distancia=4 posiciones. (24-66=42 s

42/4=10.5

24-10.5=13.5

a_n=am+d(n-m)

El caracol gigante africano (gas en inglés) fue encontrado por primera vez en el sur de florida en la década de los 60. la erradicación de esta plaga llevó diez años y costó un millón de dólares. se reproduce rápidamente y produce alrededor de 1200 huevos en un solo año. si no se le controla, si de cada huevo resulta un caracol, sabiendo que en una granja de la meta se encontraron inicialmente 5000 caracoles. ¿cuántos caracoles gigantes africanos existirían dentro de 10 años? no olvide usar los conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones.

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