Colaborativo 2 Ecuaciones Diferenciales

SOLUCION A PROBLEMAS

1. Resuelva el problema de valor inicial

2x^2y’’ + 3xy’ – y = 0; si y(1) = 2 y’(1) = 1

Aplicando la situación x= t; considerando que x > 0

T=Ln x

( dt)/dx=1/x

Ahora podríamos decir que:

dy/dx=dy/dt.dt/dx

Teniendo en cuenta que dt/dx=1/x; reemplazando tenemos

dy/dx=dy/dt.1/x

Despejando obtenemos

x dy/dx=dy/dt

Vuelvo a derivar para poder reemplazar en la ecuación

(d^2 y)/(dx^2 )=(1d^2 y)/(xdt^2 ).dt/dx-1/x^2 dy/dt=(1d^2 y)/(adt^2 ).1/x-1/x^2 dy/dt=(1d^2 y)/(x^2 dt^2 )-(1 dy)/(x^2 dt)

Factorizamos y despejamos

x^2 (d^2 y)/(dx^2 )=((d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt)

Ahora reemplazamos en la ecuación se tiene:

2x^2y´´+ 3xy´-y=0;

2((d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt)+3 dy/dt-y=0

2(d^2 y)/(dt^2 )-2 dy/dt+3 dy/dt-y=0

2 (d^2 y)/(dt^2 )+dy/dt-y=0

La ecuación característica es:

2m^2+m++1=0

Factorizando esta ecuación tenemos

2m^2+m+1=(m+1)(2m-1)

De donde m = -1; m=1/2

Considerando la anterior expresión tenemos que la solución general está dada por :

Y=c1e^(-t)+c2e^(1t/2)

Reemplazando por los valores iniciales t = lnx, se tiene

Y=c1e^(-lnx)+c2e^(1/3 lnx)

Por propiedades de logaritmos tengo

Y=c11/x+〖c2x〗^(1/2)

Remplazando la primera condición c(1) =2; tenemos .

2=1/1 c1+〖(1)〗^(1/2) c2

2= c1+c2

Derivo la solución general para reemplazarla la segunda condición inicial dada

Y=c11/x+c2x^(1/2)

y´=-1/x^2 c1+1/(2x^(1/2) ) c2

Reemplazo la primer condición inicial c(1)=1; tenemos .

1=1/1^2 c1+1/(2.〖(1)〗^(1/2) ) c2

1=-c1+1/2 c2

Considerando

2=c1+c2

1=-c1+1/2 c2

Sumando las anteriores ecuaciones obtengo

3=3/2 c2

c2=2

Reemplazando la primera ecuación tenemos

2=c1+2

c1=0

Finalmente reemplazando los valores de las constantes tenemos la siguiente solución

Y=c11/x+c2x^(1/2)

y=2x^(1/2)

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. y_1=1 e y_2=log⁡x

W[1;log⁡x ]=(■(1&log⁡x@0&1/x))=1/x-0=1/x

Por lo tanto W[1;log⁡x ]= 1/x

B. y_1=e^(ax ) e y_2=x〖 e〗^ax

W[e^ax; 〖xe〗^ax ]=(■(e^ax&〖xe〗^ax@〖ae〗^ax&e^ax+ 〖axe〗^ax ))

=e^ax (e^ax+ 〖axe〗^ax )-〖ae〗^ax 〖xe〗^ax

=e^2ax (1+ ax)-〖axe〗^2ax

=e^2ax (1+ ax┤-ax)

=e^2ax (1)

=e^2ax

Por tanto W[e^ax; 〖xe〗^ax ]= e^2ax

C. y_1=e^(-x) e y_(2 )= e^2x

W[e^(-x);e^2x ]=(■(e^(-x)&e^2x@〖-e〗^(-x)&2e^2x ))

=e^(-x) (2e^2x )-(-e^(-x))e^2x

=2e^x+e^x=3e^x

Por lo tanto W [e^(-x);e^2x ]= 3e^x

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.

A. 4y’’ - 8y’ + 7y = 0

R/

Esta ecuación corresponde al caso 3 de solución compleja conjugada:

Ecuación característica: 4 (d^2 y(x))/〖dx〗^2 -8 (dy(x))/dx+7y(x)=0

Asumiendo una solución proporcional a e^λxpara la constante λ

Sustituyendo y(x) = e^λx en la ED:

4 d^2/(〖(dx〗^2)) e^λx-8 d/dx e^λx+7e^λx=0

Sustituyendo d^2/(〖(dx〗^2)) e^λx= λ^2 e^λx y d/((dx)) e^λx=λe^λx

〖4λ〗^2 e^λx-8λe^λx+7e^λx=0

Factorizando e^λx:

〖(4λ〗^2-8λ+7)e^λx=0

Con el e^λx ≠0:

〖4λ〗^2-8λ+7=0

Resolviendo para λ:

λ=1 ± (i √3)/2

Los radicales λ=1 ± (i √3)/2 dan y_(1(x))=c_1 e(1 ± (i √3)/2)x,y_(2(x))=c_2 e(1 ± (i √3)/2)x como soluciones donde C1 y C2 son coeficientes constantes.

La solución general es la suma de las anteriores soluciones:

y_((x))= y_(1(x))+y_(2(x)) 〖=c〗_1 e(1 ± (i √3)/2)x+ c_2 e(1 ± (i √3)/2)x

Aplicando Euler e^(a+iβ )=e^(a ) cos⁡〖β+ie^a sen (β)〗:

y_((x))= c_1 (e^x cos( √3x/2)+〖ie〗^x sen( √3x/2))+ c_2 (e^x cos( √3x/2)+〖ie〗^x sen( √3x/2))

Reagrupando términos:

y_((x))= 〖(c〗_1+ c_2)├ e^x cos( √3x/2)+〖i〖(c〗_1- c_2)e〗^x sen( √3x/2)┤

Definiendo c_1+ c_2 como C1 y i〖(c〗_1- c_2) como C2, para solucionar por coeficientes constantes:

y_((x))= c_1 ├ e^x cos( √3x/2)+〖 c_2 e〗^x sen( √3x/2)┤

B. y’’ + 2y’ + 3y = 0

R/

Esta solución corresponde al caso 3 de solución compleja conjugada:

Ecuación Característica: (d^2 y(x))/〖dx〗^2 +2 (dy(x))/dx+3y(x)=0

Asumiendo una solución proporcional a e^λxpara la constante λ

Sustituyendo y(x) = e^λx en la ED:

d^2/(〖(dx〗^2))

...