Colaborativo De Procesamiento De Señales

Concepto y Definición de Convolución

• Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema (y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)).

• Dos condiciones para realizar la convolución:

o Sistema LTI.

o La respuesta al impulso del sistema es h(t).

• Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema es invariante en el tiempo:

• Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la tira :

Concepto y Definicion de convolución

• La function xs (t) Que aproxima x (t) es:

• x (t) es el Límite when ts dl ® ® 0, k • ts ® l:

Y aplicando el Principio de superposición:

Concepto y Definición de Convolución

• Mediante convolución hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso.

• La función h(t) se define para t³0 y decrece cuando t®¥, para la mayoría de los sistemas físicos. Por tanto,

o La respuesta en t0 depende de los valores actual y pasados de la entrada y de la respuesta al impulso.

o Los valores más recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(t).

Propiedades

• Propiedades (se supone Que x (t) * h (t) = y (t)):

Correlación y Autocorrelación

• Correlación: Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de que en la correlación no hay que “reflejar” una de las señales:

Esta expresión nos indica que la relación que existe entre la convolución y la correlación.

La correlación nos da una medida de la similitud entre dos señales. No existe la propiedad conmutativa por lo que dadas dos señales x(t) e y(t) se definen dos correlaciones:

que sólo coinciden en t=0 : Rxy(0)= Ryx(0)

Correlación y Autocorrelación

• La correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelación:

o La autocorrelación representa la simulitud entre una señal y su desplazada. El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento (t=0). La autocorrelación es simétrica con respecto al origen, ya que Rxx(t)=Rxx(-t).

Convolución Discreta

o Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que sólo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica.

o Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función x(l)h(t-l). Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de

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