Distribuicion De Poisson

Introducción

A continuación describimos el uso de la probabilidad dedistribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca frecuencia) cuyo resultado lo representa una variable.

Objetivos

 Expresar, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

 Utilizar la probabilidad de poisson para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional

 Determinar los valores de frecuencia “P” y segmento “N”

Determinar el promedio, varianza y desviación estándar utilizando las variables

La distribución de Poisson

Prob. Por unidad de intervalo de ocurrir un suceso

t Sucesos en un tiempo t

dt Prob. de que ocurra un suceso en dt

(1dt) Prob. de que no ocurra nada en dt

Utilidad

 La distribución de Poisson se usa en distribuciones donde los sucesos son impredisibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

 Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

 Es muy útil cuando la muestra o segmento “n” es grande y la probabilidad de éxitos “p” es pequeña.

 Se uliliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento “n”dado como por ejemplo la distancia,area,volumen o tiempo definido.

Simeón Denis Poisson

(Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781 - Sceaux (Altos del Sena), Francia, 25 de abril de 1840), fue un físico y matemáticofrancés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría diferencial y la teoría de probabilidades.

La primera memoria de Poisson sobre la electricidad fue en 1812, en que intentó calcular matemáticamente la distribución de las cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores, y en 1824, también demostró que estas mismas formulaciones podían aplicarse de igual forma al magnetismo.

El trabajo más importante de Poisson fue una serie de escritos de las integrales definidas, y cuando tan solo tenía 18 años, escribió una memoria de diferencias finitas.

Poisson enseñaba en la escuela Politécnica desde el año 1802 hasta 1808, en que llegó a ser un astrónomo del Bureau des Longitudes. En el campo de la astronomía estuvo fundamentalmente interesado en el movimiento de la Luna.

En 1809 fue nominado como profesor de matemática pura en la nuevamente abierta facultad de ciencias.

En 1837 publicó en Rerecherchés sur la probabilite des jugements, un trabajo importante en la probabilidad, en el cual describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento ocurre algunas veces.

Durante toda su vida publicó entre 300 y 400 trabajos matemáticos incluyendo aplicaciones a la electricidad, el magnetismo y la astronomía.

Propiedades de un proceso de Poisson

 La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra “n” es constante

 El evento debe considerarse un evento raro

 El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos

“si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución de poisson”

Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Simeón-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Propiedades

La función de masa de la distribución de Poisson es

Donde

• k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

• λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

• e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

Intervalo de confianza

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012).1 Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas

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