El cálculo diferencial

TRABAJO COLABORATIVO No 1

TUTOR:

FAIBER ROBAYO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS AGRARIAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

CALCULO DIFERENCIAL

2010-I

INTRODUCCIÓN

Como habíamos visto anteriormente en el trabajo de reconocimiento, el cálculo diferencial está dividido en tres temas básicos, sucesiones, límites y derivadas.

A través de este trabajo, vamos a identificar y desarrollar las diferentes formas de sucesiones, sus principales características y la forma correcta de realizar los ejercicios planteados en la actividad.

En la primera parte de este trabajo, estudiaremos las diferentes formas de encontrar los términos de una sucesión, ya sea por medio del término enésimo, o conociendo el primer termino y la relación de recurrencia. Luego revisaremos las diferentes formas de las mismas, como cuando son crecientes, decrecientes, monótonas y acotadas. También conoceremos lo que son las progresiones aritméticas y geométricas, y las variaciones de las formulas que nos ayudan a resolver estos problemas.

En general, este trabajo nos ayuda a despejar todas las dudas sobre la primera unidad, las sucesiones.

OBJETIVOS

GENERAL

Identificar y desarrollar los problemas relacionados con las sucesiones.

ESPECIFICOS

• Identificar un término enésimo.

• Reconocer cuando las sucesiones son crecientes y decrecientes.

• Reconocer cuando una sucesión es acotada.

• Determinar cuando una sucesión puede ser progresiva.

• Estudiar las formas de progresión y sus propiedades.

• Reconocer cuando una sucesión es convergente y cuando es divergente.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1-Encontrar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

Un= (1/3n+1) n≥1

V n= (3/3n-4) n≥1

W n= (1/n-1)n n≥2

RESPUESTA

Un= (1/3n+1) n≥1 Un = (1/9,1/27,1/81,1/243,1/729, … (1/3n+1)…) n≥1

V n= (3/3n-4) n≥1 V n=(-3,3/2,3/5,3/8,3/11,3/14…3/3n-4…)n≥1

W n= (1/n-1)n n≥2 W n= (1,1/8,1/81,1/1024,1/15625…(1/n-1)n...) n≥2

2- Identificar el término general, dados el primer término y la relación de

Recurrencia

U0= 2 Un = Un-1¬+1

U0= 4 Un= Un-1/5

RESPUESTA

U0= 2 Un = Un-1¬+1

U1= U0+1

U2= U1+1 = (U0+1)+1

U3= U2+1= ((U0+1)+1)+1

U4= U3+1= (((U0+1)+1)+1)+1

Un= U0+1n = 2+n

U0= 4 Un= Un-1/5

U1= U0/5

U2= U1/5= U0/5/5

U3= U2/5= U0/5/5/5

U4= U3/5= U0/5/5/5/5

Un= U0/5n= 4/5n

3- Demostrar que V n= (2/1-n) n≥2 es estrictamente creciente.

RESPUESTA

W n= (2/1-n) n≥2

W n= (-2,-1,-2/3,-1/2,-2/5… (2/1-n)…) n≥2

Esta es una sucesión estrictamente creciente porque entre mayor sea el valor de n, mayor va a ser el número que va a tomar en la sucesión.

4- Demostrar que X n= 2-n n≥1 es estrictamente decreciente.

RESPUESTA

X n= 2-n n≥1

X n= (-2,-4,-8,-16,-32….(2-n)…) n≥1

Esta es una sucesión estrictamente decreciente porque a medida que n va aumentando su valor, el número que continua en la sucesión va disminuyendo.

5- Hallar la mínima cota superior de la sucesión: Vn= (2n+1/n) n≥1

RESPUESTA

Vn= (2n+1/n) n≥1 Vn= (3,5/2,7/3,9/4,11/5… (2n+1/n)…) n≥1

Vn-M= 1(2n+1/n) -3 = 2n+1-3n/n= 1-n/n

V n≥1 1-n≤0 y n≥0 → 1-n/n ≤0

(2n+1/n)n≥1↔ Vn ≤ M

6- Hallar la cota superior e inferior, determinar si es acotada la sucesión: Un= (2n-1/n) n≥1

RESPUESTA

Un= (2n-1/n) n≥1 Un= (1,3/2,5/3,7/4,9/5… (2n-1/n)…) n≥1

Un –M= 2n-1/n – 2= 2n-1-2n/n= -1/n

V n≥1 -1≤0 y n≥0 ↔ -1/n≤0 ↔Un ≤ 2

2n-1/2n+1 ≤ 1 ↔ Un ≤ M

Un-m = 2n-1/ n -1 = 2n-1-n/n = n-1/n

V n≥1 n-1/ n ≥0 ↔ Un – m ≥0 ↔ Un>m

Entonces decimos que esta sucesión es acotada porque para todo n ≥ 1, m< Un < M (2<Un< 1) en este caso.

7- Para la sucesión Vn = 3+2(n-1) n≥1determinar si es una progresión Aritmética, si lo es, hallar la diferencia común y el primer término.

RESPUESTA

Vn = 3+2(n-1) n≥1 Vn= (3,5,7,9… (3+2(n-1))…) n≥1

V0= (3+2(0-1) V1= (3+2(1-1)) =3

V0= (3+2(-1)) V2= (3+2(2-1))= 5

V0=(3-2) V3= (3+2(3-1))= 7

V0= 1 V4= (3+2(4-1)) = 9

r= U2-U1

r= 5-3

r= 2

Decimos entonces que es una progresión aritmética con una diferencia común r= 2 y con un primer término U0= 1

8- Dada la progresión cuyo primer término es 3 y la relación de recurrencia es Un+1= Un-4, hallar la suma de los 7 primeros términos.

RESPUESTA

Un+1= Un-4 U0= 3

U1=U0-4

U2= U1-4= (U0-4)-4

U3=U2-4= ((U0-4)-4)-4

Un= U0-4n = 3-6n Un= (3,-3,-9,-15,-21… (3-6n)…) n≥0

r=U2-U1

r=-9-(-3)

r= -6

S= n [2Ua+(n-1) r]/2

S=7[2(3)+ (7-1)-6]/2

S=7[6-36]/2

S= -210/2

S= -105

La suma de los primeros cinco términos de esta sucesión es -105.

9-

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