Intervalo

Lección

Econometría Modelo de regresión normal clásico

© Citar como: Zamora, MM y Estavillo, J (2001): "Modelo de regresión normal clásico", [en línea] 5campus.org, Econometría <http://www.5campus.org/leccion/ecoreg> [y añadir fecha consulta]

I. OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es introducir al estudiante en el análisis cuantitativo de las relaciones que vinculan las variables económicas entre sí según una estructura lineal.

A partir de las relaciones cualitativas estudiadas por la Teoría Económica y formulando en términos estadísticos dichas relaciones, se desarrollan los modelos econométricos, que en su forma más sencilla se analizan en este capítulo.

II. ESTRUCTURA

En este capítulo se desarrolla un modelo econométrico uniecuacional y se estructura en los siguientes epígrafes:

1. Especificación del modelo

2. Estimación de los parámetros del modelo

3. Análisis del modelo

3.1. Descomposición de la Suma de Cuadrados

3.2. Medida de la Bondad de Ajuste

3.3. Inferencia acerca de los parámetros

4. Predicción

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO

El modelo de regresión lineal normal clásico (MRLNC), que se va a estudiar, considera que la relación entre la variable dependiente (Y) y las independientes (X1 ,X2, ... , Xk) se puede formular matricialmente a partir de la siguiente expresión lineal:

donde:

que desarrollando se formularía:

i=1,2,..., n

si se considera que en el modelo existe término independiente, la matriz X se puede expresar como:

y el modelo quedaría: i=1,2,..., n

Esta relación funcional se conoce como hipótesis de linealidad. Además se establecen, en relación con el modelo, otro conjunto de hipótesis referidas a la variable de perturbación y a la matriz de regresores:

Hipótesis

1.

2.

3.

4. X matriz de regresores no estocástica

5.

6. 

En el modelo estudiado en este capítulo se supone que se verifican las 6 hipótesis anteriores, por lo que siempre se trabajará bajo el supuesto de un modelo de regresión lineal, normal, clásico.

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO

En el modelo de regresión especificado existe un conjunto de parámetros desconocidos (j y ). Por ello, en primer lugar, se tratará de su estimación.

Existen diversos métodos para estimar los parámetros del modelo, muchos de los cuales se basan en los residuos o errores, que se definen como la diferencia entre el valor real de variable dependiente y el estimado por el modelo para dicha variable.

i=1,2,...,n

Entre los métodos que estiman los parámetros del modelo a partir de los residuos, el más sencillo es el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), que hace mínima la suma de los cuadrados de los residuos.

Partiendo de

Se obtiene un sistema de ecuaciones (ecuaciones normales)

que permite obtener los estimadores mínimo cuadrático ordinarios (EMCO) de los parámetros j a partir de la expresión:

donde

Cada uno de los coeficientes bj representa el efecto de la variable independiente sobre la variable explicada; es decir el valor estimado de bj indica la variación que experimenta la variable dependiente cuando la variable independiente Xj varía en una unidad y todas las demás permanecen constantes.

Si en el modelo existiera término independiente, estas matrices se simplificarían con las siguientes expresiones

Estos estimadores MCO son estimadores lineales, insesgados y óptimos (ELIO) en el modelo de regresión lineal, normal, clásico.

El estimador de la varianza de la perturbación no se deduce del sistema de ecuaciones normales; se calcula a partir de la fórmula:

y se puede comprobar que es el estimador insesgado - - de la varianza de la perturbación.

ANÁLISIS DEL MODELO

3.1. DESCOMPOSICIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS

El modelo de regresión se plantea para explicar el comportamiento de la variable dependiente (Y). En dicho estudio será interesante analizar la variación que experimenta esta variable y, dentro de esta variación, estudiar qué parte está siendo explicada por el modelo de regresión y qué parte es debida a los errores o residuos.

Para ello y, a partir de los residuos, se puede obtener la expresión

En el supuesto que exista término independiente en el modelo de regresión, la descomposición anterior, se expresaría como:

donde:

SCT: es la Suma de Cuadrados Totales y representa una medida de la variación de la variable dependiente

SCE es la Suma de Cuadrados Explicados por el modelo de regresión

SCR es la Suma de Cuadrados de Residuos

Cada una de estas sumas viene dada por las expresiones:

y si en el modelo existe término independiente,

3.2. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

Una vez estimado el modelo es conveniente obtener una medida acerca de la bondad del ajuste realizado. Un estadístico que facilita esta medida es el coeficiente de determinación (R2), que se define:

y en el caso particular de modelo con término independiente:

Este coeficiente permite, además, seleccionar entre modelos clásicos que tengan el mismo número de regresores, ya que la capacidad explicativa de un modelo es mayor cuanto más elevado sea el valor que tome este coeficiente.

Por otra parte el valor coeficiente de determinación crece con el número de regresores del modelo. Por ello, si los modelos que se comparan tienen distinto número de regresores, no puede establecerse comparación entre sus R2. En este caso debe emplearse el coeficiente de determinación corregido , que depura el incremento que experimenta el coeficiente de determinación cuando el número de regresores es mayor.

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