MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DISCRETO Y PROBABILIDADES.

Taller 2

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DISCRETO Y PROBABILIDADES

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este taller es familiarizar a los alumnos con modelos de probabilidad discretos más comunes, aprender a identificar los distintos modelos y reconocer cómo estos varían al variar sus parámetros.

Se presenta en primer lugar una descripción de las opciones para cálculo con Statgraphics, junto con algunos ejemplos. A continuación se propone una serie de ejercicios para ser resueltos por los alumnos. Se utilizará el archivo modelos1.sf3

1. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

1.  Opciones de Statgraphics para probabilidades

1. Se escoge la opción Plot de la barra de menú.
2. Dentro de Plot, se escoge Probability Distributions.
3. En Probability Distributions, se escoge la distribución deseada. Los valores de los parámetros que definen la distribución están fijados por defecto por el programa, se pueden modificar pulsando el botón derecho del mouse y escogiendo la opción Analysis Options.

Opciones numéricas

Situándose en el icono de Tabular Options  y pulsando el botón izquierdo del mouse el programa ofrece cuatro posibilidades:

a) Analysis Summary: el programa presenta un recordatorio de la distribución escogida y los valores de los parámetros.

b) Cumulative Distribution CDF (distribución acumulada). .

 Dado un valor x1 de la variable aleatoria, el programa calcula tres valores:

P(X< x1);        P(X= x1);        P(X>x1).

El valor de x1 se introduce pulsando el botón derecho del mouse, sobre la ventana Cumulative Distribution, escogiendo Pane Options y rellenando o modificando desde el teclado uno, o varios, de los recuadros blancos.

c) Inverse CDF.  Dado un valor de probabilidad P1, el programa calcula el valor x1 de la variable aleatoria, tal que F(x1)= P1. El valor de P1 se introduce pulsando el botón derecho del mouse, escogiendo Pane Options y modificando desde el teclado uno, o varios, de los recuadros blancos.

d) Random Numbers (generación de números aleatorios): el programa genera  n  valores aleatorios de una distribución elegida. El valor de n (Size) se fija pulsando el botón derecho del mouse y escogiendo Pane Options.

Para crear la serie de números aleatorios, hay que pinchar en el icono Save Results . El programa permite guardar los valores generados  para lo cual pide al usuario que escoja un nombre para la variable bajo la cual se almacena la columna de datos (por defecto, las denomina RAND1, RAND2, etc) El usuario puede dar nombre a la variable situando el cursor en los recuadros bajo el título Target Variables y modificando el texto. Asegúrese de activar Save a la izquierda, en la misma ventana para guardar los datos en el archivo actual.

Se pueden generar muestras secuencialmente, con rapidez, sin más que pinchar en el  icono  Save Results y cambiar el nombre de la variable (RAND1, RAND2,...).

Opciones gráficas

Las opciones gráficas se seleccionan pulsando el icono de Graphical Options.. El programa ofrece cinco posibilidades de las cuales en este curso se utilizan sólo las dos primeras :

a) Density/Mass Function : función de densidad de masa.

b) CDF : función de distribución acumulada.

Puede trabajar simultáneamente con ambos gráficos.

1.  Ejemplos

1. Distribución Binomial

Se eligen las opciones Plot, a continuación Probability Distributions y

seguidamente se escoge la distribución Binomial.  Sus parámetros son n :Trials y  p : Event Probability,   los que se ingresan pulsando el botón derecho del mouse y eligiendo   Análisis Options.

a) Obtenga los gráficos resultantes para las siguientes variables n y p:  B(3,0.3), B(5,0.3) y  B(8,0.3)  ¿Qué observa cuando n crece?

b) Obtenga los gráficos resultantes para las siguientes variables n y p: B(5,0.2), B(5,0.5) y  B(5,0.8)  ¿Qué observa cuando p crece?.

c) Dibuje a mano los gráficos resultantes para las siguientes variables n y p:     B(5,0.2) y  B(5,08).  ¿Existe alguna relación entre las probabilidades de estos modelos? Compruebe con el computador.

d) Intente establecer razonadamente una relación general para los modelos  B(n,p) y  B(n,1-p).  

1. Modelo Poisson

A partir de lo anterior, pulse el icono Input Dialog  y seleccione  Poisson , en forma análoga al anterior, ingrese el parámetro de la Poisson     λ : MEAN.

 Elija la opción Cumulative Distribution para representar las funciones de P(1), P(3), P(6), P(9), P(15). Observe las variaciones de simetría y apuntamiento que se producen y relacione con los valores de  λ.

1. Ejemplos  

2.3.1. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en un proceso es del 5%. Calcular la probabilidad de que de 150 piezas producidas hayan como máximo seis defectuosas.

Solución:

Desde Input Dialog seleccione  la distribución Binomial.

Pulsando el botón derecho del mouse sobre la ventana izquierda y escogiendo Analysis Options, se fija el valor de trials ( n )  en 150 y el de Event Probability  (p ) en 0,05.  

Pulse el icono Tabular Options ,  escoja Cumulative Distribution. Pulsando el botón derecho del mouse en la ventana izquierda y escogiendo Pane Options, fije el valor de la variable : Random Variable en 6.

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