MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN DE CARTERA DE VALORES

1.4 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN DE CARTERA DE VALORES

La decisión en este tipo de problemas es determinar cuáles inversiones seleccionar. Este problema requiere tomar una decisión “no/si” que resultará en un modelo de programación entera con variables 0-1. Como será ahora, una decisión de inversión también puede requerir determinar cuánto invertir en cada alternativa disponible. A menudo puede formularse un modelo de programación lineal para un problema de esta naturaleza.

El objetivo global de un inversionista es obtener el más alto rendimiento posible. Pero un alto rendimiento tiene un precio: el riesgo. Un inversionista debe equilibrar el rendimiento frente al riesgo. A menudo puede formularse un modelo de programación lineal para diseñar una estrategia de inversión que logre el rendimiento máximo, al mismo tiempo que satisfaga ciertos requerimientos de riesgo. Considere el problema enfrentando por los socios generales de AFP JR.

EJEMPLO 1.4 EL PROBLEMA DE INVERSIÓN DE AFP JR. Al gerente de cartera de AFP JR, se le ha pedido invertir $1 000 000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigaciones de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla 1.4.

TABLA 1.4. Riesgo y tasa esperada de rendimiento de seis fondos de inversión

FONDO

1 2 3 4 5 6

Predio ($/acción) 45 76 110 17 23 22

Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administración de AFP JR ha especificado las siguientes pautas:

1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75 % de la cartera.

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar ente 20 y 30% de la cartera.

3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de AFP JR, ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

Con estas pautas, ¿Qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?

1.3.3 Identificación de las variables de decisión

En este problema, usted controlar cuánto invertir en cada uno de los seis fondos mutuos, dando así origen a seis variables de decisión. Como siempre, debe especificar las unidades asociadas con cada variable. Por ejemplo, para el fondo 1, podría definir cualquier de las siguientes variables:

F1 = el número de acciones del fondo 1 por comprar

F1 = el número de dólares por invertir en el fondo 1

F1 = la fracción de la agenda por invertir en el fondo 1

Cada opción conduce a un modelo matemático diferente pero equivalente. Aquí se utiliza la última opción. Así es que, para cada uno de los fondos restantes, defina:

F2 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 2

F3 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 3

F4 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 4

F5 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 5

F6 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 6

1.4.2 Identificación de la función objetivo.

Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es maximizar la tasa esperada de rendimiento, esto es,

Tasa esperada de rendimiento cantidad invertida = rendimiento total esperado

Si aplicamos la descomposición al numerador obtenemos

Rendimiento total esperado = (rendimiento esperado del fondo 1) +

(rendimiento esperado del fondo 2) +

(rendimiento esperado del fondo 3) +

(rendimiento esperado del fondo 4) +

(rendimiento esperado del fondo 5) +

(rendimiento esperado del fondo 6)

Para determinar el rendimiento esperado del fondo 1, trabaje con un ejemplo especifico en el que 10% de la cartera se invierte en el fondo 1, es decir, F1 = 0.10. En este caso, 0.10 * 1 000 000 = $ 100 000 de la cartera se invierte en el fondo 1. De acuerdo con los datos de la tabla 1.4 se espera que este dinero devuelva 30% ó 0.30*1000000 = $ 30 000. Por tanto, en términos de F1,

Rendimiento esperado del fondo 1 = (cantidad invertida en el fondo 1) *

(tasa de rendimiento del fondo 1)

= (F1 * 1 000 000) * 0.30

= 300 000 F1

Usando una lógica similar para los cinco fondos restantes, llegamos a

Rendimiento total esperado = 300 000 F1 + 200 000 F2 + 150 000 F3 +

120 000 F4 + 100 000 F5 + 70 000 F6

Dividiendo esto entre la inversión total de $ 1 000 000 obtenemos la tasa de rendimiento y por tanto la siguiente función objetivo:

Maximizar 0.30 F1 + 0.2 F2 + 0.15 F3 + 0.12 F4 + 0.10 F5 + 0.07 F6

1.4.3 Identificación de las restricciones

Aplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes tres grupos de restricciones:

1. Limitaciones de inversión para controlar la cantidad invertida en cada una de las tres categorías de riesgo.

2. Restricciones de diversificación para extender la inversión

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