OBJETIVO: SOLUCION Y PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CON SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS

EVIDENCIA N°7: METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

TIPO DE ACTIVIDAD: INDIVIDUAL

VALOR: 20%

OBJETIVO: SOLUCION Y PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CON SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS

CARRERA:                                GRUPO: AD201

Criterios de evaluación

Puntos

Evaluación

Responsabilidad

Objetivo de aprendizaje

Conclusión e interpretación de resultados

Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incognitas. Son dos ecuaciones de primer grado, con dos incognitas, en donde hay que buscar un sólo valor para (x) y otro para (y), que sustituído tanto en la priméra ecuacion como en la segunda nos matenga la igualdad.

Métodos de solucion. Existen 5 métodos de solución.

• Método de Adición o Sustración.
• Método de Sustitución.
• Método de Igualación.
• Método de Determinantes.
• Método Gráfico.

 Método de Adición o Sustración.

Ejemplo.        Ec.1.        3x  + 5y =  7                          x = 1

                Ec.2.        2x  –   y = – 4                          y = 2

Pasos para resolver un sistema de 2 ec. Con 2 inc.

• Elegir una de las incognitas x o y de la ec. 1 y de la ec. 2, de preferencia que tenga signos contrarios y de menores coeficientes, y multiplicar por el coeficiente contrario.

Si todos tienen el mismo signo no importa una de las ec. Se multiplica por menos uno.

Ec.1.        (3x  + 5y =    7) 1                 Ec.1.        ( 3x  + 5y =   7)  

        Ec.2.        (2x  –   y = – 4) 5                  Ec.2.        (10x  – 5y = –20)  

• Reducir los términos semejantes y despejar la incognita o sea dejarla sola,  positiva, sin exponentes ni coeficientes.

Ec.1.        (  3x  +   5y =     7)  

Ec.2.        (10x  –   5y = – 20)   

                         13x      o   = – 13

                                      x  = – 1

• Sustituir la incognita encontrada en cualquiera de las ecuaciones originales 1 o 2. Para encontrar el valor de la otra incognita.

Ec.1.        3x  + 5y =  7[pic 3]

          3(-1)+ 5y =  7

            - 3 + 5y =  7

                    5y = 7 + 3

                  Y = 2

• Comprobar sustituyendo el valor encontrado de las dos incognitas en cualquiera de las ecuaciones originales 1 o 2.

Ec.2.        2x  –   y = – 4

          2(-1) – (2) = – 4

            – 2 –  2  = – 4

                  – 4  = – 4

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de suma   y resta o reducción.

        3X  + 5Y  = 7                      

1.-                                          

        2X  -  Y  =  - 4                        

        9X + 11Y = -14                        

2.-                                          

        6X - 5Y =  -34                        

        4Y + 3X =  8                            

3.-                                          

       – 9Y + 8X = -77                      

       9X + 7Y = - 4                  

4.-                                          

       11X -13Y =-48                        

Método de Sustitución.

Ejemplo.        Ec.1.        3x  + 5y =  7  

                Ec.2.        2x  –   y = – 4  

Pasos para resolver un sistema de 2 ec. Con 2 inc.

• Despejar una de las incognitas x o y de la ec. 1 o de la ec. 2, de preferencia que tenga signos positivos o de menores coeficientes.

Ec.1.        3x  + 5y =  7                  x = 7 –  5y       

                Ec.2.        2x  –   y = – 4                          3    

• Sustituir la incognita despejada en la ecuacion contraria de tal forma que nos queda una ec. Con una sola incognita la cual se despeja o sea se deja sola,  positiva, sin exponentes ni coeficientes.

Ec.2.        2x  –   y = – 4

   [ 2(7 – 5y) – y = – 4 ]  se mult. Por 3 para eliminar el denominador

            3

    2(7 – 5y) – 3y= – 12

    14 – 10y – 3y= – 12

             14 + 12  = 10y +3y

                     26  = y

                     13

                       2  = y

• Sustituir la incognita encontrada en la ecuacion despejada,  para encontrar el valor de la otra incognita.

x = 7 –  5y                  x = 7 –  5(2)       

                                   3                                     3  

                             x = 7 – 10

                                                                          3

                                        x = -3

                                                         3

                                                   x = – 1  

• Comprobar sustituyendo el valor encontrado de las dos incognitas en cualquiera de las ecuaciones originales 1 o 2.

     Ec.1.        3x  + 5y =  7

                                       3(-1)+ 5(2) =  7

                                     - 3 + 10 =  7

                                             7  =  7  

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.

         X  -  3Y  = - 1                        

1.-                                          

         X +  4Y =  6                          

       X  + 2Y  = 2                      

2.-                                          

       X  -  5Y  =- 5                        

         X +  4Y = - 2                        

3.-                                          

        3X - 4Y =  10                        

          2X  -    Y = - 8                            

4.-                                          

       – 2X -   5Y = -4                      

 Método de Igualación.

Ejemplo.        Ec.1.        3x  + 5y =  7  

                Ec.2.        2x  –   y = – 4  

Pasos para resolver un sistema de 2 ec. Con 2 inc.

• Despejar una de las incognitas x o y de la ec. 1 y de la ec. 2, de preferencia que tenga signos positivos o de menores coeficientes.

Ec.1.        3x  + 5y =  7                  x1 = 7 –  5y                   x2 = – 4 + y _            

                Ec.2.        2x  –   y = – 4                           3                                             2

• Igualar las dos ecuaciones despejadas y encontrar el valor de la otra incognita o sea se deja sola,  positiva, sin exponentes ni coeficientes.

                                                X1    =  X2

 7 –  5y    = – 4 + y _            

                                           3                  2                    

                                      2(7 – 5y)  = 3(– 4 + y)

                                       14 – 10y  = – 12 + 3y

                                         14 + 12  = 10y + 3y

                                                  26 =  13y

                                                  26 = y        

                                                  13

                                                   2  = y

• Sustituir la incognita encontrada en cualquiera de las ecuaciones despejadas,  para encontrar el valor de la otra incognita.

x = 7 –  5y                  x = 7 –  5(2)       

                                   3                                     3  

                             x = 7 – 10

                                                                          3

                                        x = -3

                                                         3

                                                   x = – 1  

• Comprobar sustituyendo el valor encontrado de las dos incognitas en cualquiera de las ecuaciones originales 1 o 2.

Ec.2.        2x  –   y = – 4

                                    2(-1) – (2) = – 4

                                   – 2 –  2  = – 4

                                          – 4  = – 4

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación.

       7X  +  5Y  = 1                        

1.-                                          

       -4X -  3Y  = 1                          

        - 6X  + 5Y  = 1                      

2.-                                          

        -11X + 9Y  = 1                        

        2X + 5Y = 1                        

3.-                                          

        5X + 2Y = 1                        

        6X + 7Y =  1                            

4.-                                          

       3X + 15Y = 1                      

Método de Determinantes (de segundo orden).

Ejemplo.        Ec.1.        3x  + 5y =  7  

                Ec.2.        2x  –   y = – 4  

Pasos para resolver un sistema de 2 ec. Con 2 inc.

• Sacar los valores de ▲ (delta), ▲x (delta x) y ▲y (delta y).

• Para encontrar el valor de ▲ se ordenan las 2 ec. Y se colocan los coeficientes de x y de y obteniendo el producto de izquierda a derecha menos el producto de derecha a izquierda.

 ▲ =  | 3      5 | =    (3) (-1) = – 3

          | 2    -1 | = - [(5) ( 2)] = – 10  

                                          ▲ = – 13    

• Para encontrar el valor de ▲x se ordenan las 2 ec. Y se sustituyen los valores de los términos independientes en el lugar de las (x) dejando los mismos valores de las (y) finalmente se obtiene el producto de izquierda a derecha menos el producto de derecha a izquierda.

▲x = | 7      5 | =   (7) (-1)  = – 7

                                  | -4    -1 | =- [(-4) (5)]=+ 20   

                                                             ▲x = + 13  

• Para encontrar el valor de ▲y se ordenan las 2 ec. Y se sustituyen los valores de los términos independientes en el lugar de las (y) dejando los mismos valores de las (x) finalmente se obtiene el producto de izquierda a derecha menos el producto de derecha a izquierda.

▲y = | 3      7 | =  (2) (-4)  = – 12

                                   | 2     -4 | =- [(7) (2)] = – 14   

                                                             ▲y =  – 28

• Sustituir los valores encontrados en las siguientes fórmulas, para encontrar el valor de las dos incognitas.

                                      x = ▲x         =  + 13 = – 1                  y = ▲y  = – 28 = 2

                                                  ▲        – 13                                       ▲           – 13         

•  Comprobar sustituyendo el valor encontrado de las dos incognitas en cualquiera de las ecuaciones originales 1 o 2.

Ec.1.        3x  + 5y =  7

                           3(-1)+ 5(2) =  7

                        - 3 + 10 =  7

                                7  =  7  

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de determinantes.

       14X  +  9Y  = 37                        

1.-                                          

       11X  -   8Y  = 14                          

        31X  +  18Y  = 44                      

2.-                                          

        -26X +  15Y  =- 67                        

         3X  +  2Y = 7                        

3.-                                          

          2X +  5Y = 12                        

        3X +  Y =  7                            

4.-                                          

        2X + 3Y = 7                      

Método Gráfico.

Ejemplo.        Ec.1.        3x  + 5y =  7  

                Ec.2.        2x  –   y = – 4  

Pasos para resolver un sistema de 2 ec. Con 2 inc.

• Encontrar las intersecciones con los ejes x , y. En ambas ecuaciones, dandole el valor de 0 tanto en (x) como en (y).

• Determinar cuando x = 0,  y = 0 en la ecuación 1, para obtener los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Cuando x = 0                                        cuando y = 0

3x  +  5y = 7                                                    3x  +  5y = 7

3(0)+  5y = 7                                                    3x  +5(0) = 7

   0 +  5y = 7                                                    3x  +   0  = 7

           y = 7/5 = 1.4                                                    x  = 7/3 = 2.3    

P1 (0, 1.4)                                                        P2 (2.3, 0)      

• Determinar cuando x = 0,  y = 0 en la ecuación 2, para obtener los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Cuando x = 0                                        cuando y = 0

2x  -    y = - 4                                                    2x  -     y = - 4

2(0) -   y = - 4                                                    2x  +  (0) = - 4

   0 -    y = - 4                                                    2x  +   0  = - 4

           y = 4                                                                x  = - 4/2 = - 2    

P1 (0, 4)                                                        P2 (- 2, 0)      

• Graficar cada una de los puntos y unir el punto 1 con el punto 2, de igual forma unir el punto 3 con el 4. La intersección de las dos rectas nos dan un par ordenado cuyo valor en (x) y (y) será el de las incognitas buscadas. (Puedes utilizar Geobra)

•  Comprobar sustituyendo el valor encontrado de las dos incognitas en cualquiera de las ecuaciones originales 1 o 2.

Ec.1.        3x  + 5y =  7

                                       3(-1)+ 5(2) =  7

                                    - 3 + 10 =  7

                                            7  =  7

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

         X  +  6Y  = 27                        

1.-                                          

         7X – 3Y =  9                          

         3X  –  2Y  = - 2                      

2.-                                          

         5X  +  8Y  =- 60                        

         3X +  5Y =  7                        

3.-                                          

         2X   -  Y  = -4                          

          7X  +  9Y = 42                            

4.-                                          

        12X  +10Y = - 4