PROBABILIDAD

EJERCICIOS

1. Determine el valor de e de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X

a. f (x) = e(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3

b. f(x) = e( 2C x) (3C3-x) para x = 0,1,2

Para el primer caso:

Ahora,

Para el segundo caso:

( 2C x) (3C3-x) = 2C x) (3C3-x) = = ((2C 0) (3C3-0))+(( 2C 1) (3C3-1))+(( 2C 2) (3C3-2))

Por lo tanto, como

2. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz cuando se eligen al azar cuatro discos de una colección que consta de cinco discos de jazz y tres discos de música clásica. Exprese los resultados a través de una formula.

X 1 2 3 4

P(X=x) 0.07 0.43 0.43 0.07

3. Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que contiene cinco calcetines cafés y tres verdes. Defina la variable aleatoria X que represente el número de calcetines cafés que se selecciona. Encuentre la función de probabilidad f(X), Varianza y desviación estándar de la variable aleatoria.

Supongamos que el resultado en el cual se saca un calcetín café es C y si es verde entonces es V. Los posibles resultados son:

CC, CV, VC, VV.

Las diferentes probabilidades son:

Elemento del Espacio muestral Probabilidad W (Número de calcetines cafés)

CC 5/14 2

CV 15/56 1

VC 15/56 1

VV 3/28 0

Por lo tanto la función de probabilidad sería:

X 0 1 2

f(x) 3/28 15/28 5/14

La función de probabilidad para dos calcetines cafés es:

La función de probabilidad acumulada para dos calcetines cafés es:

La varianza está dada por:

La desviación estándar es:

4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de dólares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de dólares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

La función de probabilidad es:

x -1 2 3 -4 5 -6

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

La esperanza E(x) para el juego es:

Por lo cual se concluye que el juego no es favorable.

5. El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina X la variable aleatoria que representa el número de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y desviación estándar.

Para el lanzamiento de las monedas tenemos:

Primer Lanzamiento Segundo

Lanzamiento Tercer Lanzamiento Número de Caras Observadas Probabilidad de los resultados

Cara Cara Cara 3 0.125

Cara Cara Sello 2 0.125

Cara Sello Cara 2 0.125

Cara Sello Sello 1 0.125

Sello Cara Cara 2 0.125

Sello Cara Sello 1 0.125

Sello Sello Cara 1 0.125

Sello Sello Sello 0 0.125

La función de probabilidad está dada por:

x 0 1 2 3

f(x) 0.125 0.375 0.375 0.125

Por lo tanto,

6. Una urna contiene 4 bolas con los números 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los números de las dos bolas extraídas. Determine la función de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de la variable aleatoria.

Primera extracción Segunda

Extracción Valor de la suma Probabilidad

1 2 3 1/12

1 3 4 1/12

1 4 5 1/12

2 1 3 1/12

2 3 5 1/12

2 4 6 1/12

3 1 4 1/12

3 2 5 1/12

3 4 7 1/12

4 1 5 1/12

4 2 6 1/12

4 3 7 1/12

La función de probabilidad de la suma de los dos valores

x 3 4 5 6 7

f(x) 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6

7. A un dependiente de un auto - lavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, ¼, ¼, 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico.

Lo que espera obtener es $11.

8. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a.- Determine la función de probabilidad de X. b.- ¿Cual es el valor de P ( X 1)?

Número de intentos Probabilidad

1 1/5

2 ¼

3 1/3

4 1/1

5 1

9. Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente. Encuentre la distribución de probabilidad para la variable X que representa el número de balotas verdes.

La distribución de probabilidad es:

Al desarrollarla se obtiene:

10. Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dólares en un año con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de 1.000 dólares con probabilidad de 0.7. Cuál sería la ganancia esperada de esa persona.

Se espera una ganancia de 500 dólares.

11. Suponga que un comerciante de joyería

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