PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA POBLACION

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

DE UNA POBLACION

P. Reyes

Septiembre 2007

CONTENIDO

1. Introducción

2. Pruebas de hipótesis para una población

3. Prueba de hipótesis estadística

4. Ejemplos de fórmulas para calcular los estadísticos de prueba

5. Ejemplos de pruebas de hipótesis de una población

6. Ejercicios adicionales

Pruebas de hipótesis de una población

1. Introducción

La inferencia estadística es el proceso mediante el cual se utiliza la información de los datos de una muestra para extraer conclusiones acerca de la población de la que se seleccionó la muestra. Las técnicas de inferencia estadística se dividen en dos áreas principales: Estimación de intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis.

En cada prueba estadística, se comparan algunos valores observados contra algunos esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parámetros (media, desviación estándar, varianza). Estas estimaciones de los verdaderos parámetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los estadísticos.

La capacidad para detectar una diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos. Incrementando el tamaño de la muestra mejora la estimación y la confianza en las conclusiones estadísticas.

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de que un valor supuesto (hipotético) es el parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara el estadístico muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Se trata de probar una afirmación sobre parámetros de la población (media ; varianza σ2 o proporción ) en base a datos de estadísticos de una muestra (X media, s2 o p respectivamente):

Por ejemplo, probar las afirmaciones en los parámetros se usan los estadísticos:

En una población

 La media poblacional m = 12; estadístico Zc

 La varianza poblacional σ2 = 12; estadístico c2

 La proporción poblacional p = 0.3 estadístico Zc

En dos poblaciones

 Las medias poblacionales son iguales m1 = m2 o m1 - m2 = 0; estadístico Zc o Tc

 Las varianzas poblacionales son iguales σ12 = σ22 o σ12 - σ22 = 0; estadístico Fc

 Las proporciones poblacionales son iguales p1 = p2 o p1 - p2 = 0 estadístico Zc

La prueba de hipótesis tiene varias etapas:

Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 0.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir el estadístico de prueba. El estadístico de prueba puede ser el estadístico muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de ese estadístico muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor Z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.

Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos del estadístico de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y el estadístico de prueba que se van a utilizar, se procede a establecer el o los valores críticos del estadístico de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos o colas.

Etapa 5.- Determinar el valor real del estadístico de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de Z, entonces se transforma la media muestral en un valor de Z.

Etapa 6.- Tomar la decisión. Se compara el valor observado del estadístico muestral con el valor (o valores) críticos del estadístico de prueba. Después no se rechaza o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones: una región de rechazo y una de no rechazo. Si estadístico de prueba cae en esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que el proceso funciona correctamente.

Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. A hora bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.

Pasos de la prueba de hipótesis:

1. Definir el Problema ( Problema Práctico).

2. Señalar los Objetivos ( Problema Estadístico).

3. Determinar tipo de datos: Atributo o Variable.

4. Si son datos Variables: Hacer Prueba de Normalidad.

5. Establecer las Hipótesis: Hipótesis Nula (Ho con signo igual), o la Hipótesis Alterna (Ha con signo de mayor o menor).

6. Seleccionar el nivel de Alfa (normalmente 0.05 o 5%).

7. Establecer el tamaño de la muestra, .

8. Desarrollar el Plan de Muestreo.

9. Seleccionar Muestras y Obtener Datos.

10. Decidir la prueba estadística apropiada y calcular el estadístico de prueba (Z, t, X2 o F) a partir de los datos.

11. Obtener el estadístico correspondiente de tablas o Excel.

12. Determinar la probabilidad de que el estadístico de prueba calculado ocurra al azar.

13. Comparar

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