Planificación Y Control De La Producción

VECTORES

Trabajo final

COPETE ROJAS UZIEL AVIR

Grupo: 1113

INDICE

VACTORES Y ESCALARES

Vector. Es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo, una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el ímpetu, etc.

Gráficamente, un vector se representa por un segmento orientado OP; la longitud del segmento es el módulo del vector. El punto O se llama origen o punto de aplicación y P el extremo del vector. La recta en que se apoya el segmento se llama directriz del vector.

Figura 1

Fig.1

Analíticamente un vector se representa por una recta con una flecha encima, por ejemplo A ⃗ en la fig. 1, el modulo se escribe |A ⃗ | o bien A.

Escalar. Es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número, su cantidad respecto a cierta unidad de medida de su última especie. Ejemplos típicos de escalares son la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, el trabajo, la energía, etc., y cualquier número real. Los escalares se indican por una letra tipo ordinario. Las operaciones con escalares obedecen a las mismas reglas de algebra elemental.

REPRESENTACION ESPACIAL DE UN VECTOR

En el espacio real solo es posible representar hasta tres dimensiones.

-Espacio unidimensional:

En este caso solo se cuenta con una dimensión, por lo que un punta cualquiera se representa solo con la coordenada X como en la fig. 2

Fig. 2

-Espacio bidimensional:

También llamado bidimensional o cartesiana se forma por dos dimensiones, la abscisa X y la ordenada Y. en este caso un punto p cualquiera esta determinado por las coordenadas X y Y como en la fig. 3

Fig.3

-Espacio de tres dimensiones:

También llamada tridimensional, se le conoce generalmente como espacio euclidiano en honor al matemático griego Euclides quien alrededor del año 300 a.C desarrollo muchos de los conceptos de la geometría espacial que se emplean actualmente. En este caso la representación de un punto esta determinada por tres coordenadas X, Y y Z. Como se ve en la fig. 4 la coordenada X es la línea sesgada que se proyecta hacia afuera de la posición en que se encuentran Y y Z. esta representación es conocida como sistema americano de referencia puesto que existe el llamado sistema europeo en donde Y es la que se proyecta hacia afuera como se muestra en la fig.5 puesto que la mayor parte de la literatura matemática proviene de Estados Unidos emplearemos el sistema americano. Para localizar en este plano a un punto cualquiera primero marcaremos las coordenadas X y las de Y en sus ejes, teniendo en cuanta que por perspectiva la representación en X será ligeramente menor que en Y. a continuación trazamos rectas paralelas desde las coordenadas X y Y al eje opusto y en la intersección de dichas rectas según Z.

fig. 4 fig. 5

ALGEBRA VECTORIAL

Las operaciones de adicion o suma, diferencia o resta, multiplicación o producto de algebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar, introduciendo determinadas definiciones, al algebra entre vectores. Vamos a las definiciones fundamentales.

Dos vectores A y B son equivalentes si tienen el mismo modulo, la misma dirección e idéntico sentido. Si además tienen en mismo origen o punto de aplicación, son iguales. Tanto la equivalencia como la igualdad entre los vectores dados la representaremos por A = B como (fig. 6).

Dado un vector A, el vector opuesto, –A, es el que tiene el mismo modulo y dirrecion pero contrario sentido (fig. 7)

Suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C obtenido trasladando el origen de B al del extremo A y uniendo el origen de A con el extremo B (fig. 8) analíticamente se expresa A+B=C

La diferencia de dos vectores A y B se representa analíticamente por A-B, es otro vector C, tal que sumando a B produce al vector A. dicho de otra manera, para restar dos vectores se suma al vector minuendo el apuesto al vector sustraendo, es decir, C=A-B=A+(-B). La diferencia de vectores es un caso particular de la suma.

En el caso de que A=B, el vector resultante se llama vector nulo o cero y se representa por 0.

5. el producto de un escalar m por un vector a es otro vector, mA, de la misma dirección que A pero con un modulo |m| veces el de A y un sentido igual u opuesto al de A según que el escalar m sea positivo o negativo.

fig.6 fig.7

Fig.8

LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL

Sean A, B y C tres vectores y m y n. en estas condiciones se verifica:

A+B = B+A propiedad conmutativa de la suma

A+(B+C) = (A+B)+C propiedad asociativa de la suma

mA = Am propiedad conmutativa del producto con un escalar

m(nA) = (mn)A propiedad asociativa del producto por un escalar

(m+n)A = Am+An propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la

suma de escalares

m(A+B) = Am+Bm propiedad distributive del producto con un escalar respecto de la

suma de vectores

MODULO DE UN VECTOR

El modulo de un vector también llamado tamaño, es la operación vectorial que consiste en determinar su magnitud. Dicha operación consiste en elevar al cuadrado las componentes de un vector, sumarlas y extraer raíz cuadrada el resultado, esta operación se indica asi |a ̅ |. Si es un vector en E^3 la sig. Expresión indica la forma en que se realiza

|a ̅ |=√(a_1^2+a_2^2+a_3^2 )

Ejemplo

PRODUCTO PUNTO a ̅*b ̅

una muy util operación vectorial es el llamado producto punto, también llamado producto escalar, que se simboliza mediante un punto entre los vectores. Este producto puede efectuarse tanto en dos como en tres dimensiones y se define como los productos de las componentes respectivas de los vectores que se están multiplicando y enseguida se suman dichos productos. Si A y B son dos vectores en E^3 entonces la sig. expresión indica el procedimiento para

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