Probabilidad

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Introducción

Importancia de Probabilidades

En muchos problemas frente a incertidumbres tenemos que tomar decisiones. ¿Durante cuánto tiempo funcionara?, ¿Cuánto tiempo funcionara?, ¿Cuál porcentaje funcionara?, etc. En la mayoría de estos problemas hay que tomar decisiones y la probabilidad nos ayuda a tomar la decisión más certera.

Experimento Aleatorio

Los experimentos u operaciones reales o hipotéticas pueden dividirse en dos clases:

Determinístico: Si el experimento está completamente determinado y puede describirse una fórmula matemática o también llamado modelo determinístico.

Ejemplo: Soltar una piedra en el aire. La segunda ley de Newton a=F/m.

No determinístico: Si los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento.

Ejemplo: Lanzar una moneda, un dado, etc.

Experimentos Aleatorios: son experimentos no determinístico, cada experimento puede repetirse indefinidamente sin cambiar la condiciones esenciales y cada uno de estos experimentos tiene varios posibles resultados que pueden describirse de antemano como el en caso de la moneda cara o cruz.

Espacio Muestral

Llamamos al espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.

Espacio Muestral Discretos: Pueden ser finitos o infinitos. Hay una correspondencia uno a uno de los elementos con el conjunto de enteros positivos de modo que pueda ser enumerado.

Espacio Muestra Continuo: Si tiene un número no numerable de elementos. Es decir, cuyo elementos son todos los puntos de algún intervalo.

Sucesos o Eventos

Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral (posibles resultados). Y suceso a todo elemento de un espacio muestral.

Probabilidades: definición clásica y frecuencia relativa.

Definición Clásica

La posibilidad de un evento es la razón entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente posibles.

P[a ]=(N(a))/(N(Ω))= (Numero de sucesos favorables a A)/(Numero de casos posibles)

Ejemplo: Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran: a) dos caras, b) al menos dos caras, c) a los mas dos caras.

Espacio muestral = Ω={ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} N(Ω)=8

Suceso: Ocurres dos Caras

Los sucesos Favorables a A son (ccs, csc, scc,) entonces N(A)=3

Por lo tanto P[A]= ¾

Suceso: Ocurre al menos dos Caras

Los sucesos favorables al evento B son (ccs, csc, scc, ccc) entonces N(B)=4

Por lo tanto P[B]= 4/8 = ½

Suceso: Ocurre a lo mas dos caras.

Suceso favorable a C son (sss, ssc, scs, css, ccs, csc, scc) entonces N(C)= 7

Por lo tanto P[C]= 7/8

Definición por Frecuencia Relativa

Si un experimento bien definido se repite n veces, sea Na < n el número de veces que el evento A ocurre en los ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A Na/n, es la estimación de la probabilidad ocurra este evento.

Ejemplo: Una muestra aleatorio de 10 fabricas que emplean un total de 10.000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada.

n= 10.000 número de veces que se repite el experimento.

Suceso, evento A: un accidente de trabajo en la industria determinada.

Entonces N(A) = 500

P[A] = 500/10.000 = 0.05

*Ya que este valor de la probabilidad se basa en una muestra, por lo tanto es una estimación del valor real desconocido. Se supone implícitamente que las formas de seguridad no han cambiado desde que se realizo el muestreo.

Probabilidad Subjetiva

La probabilidad subjetiva se usa cuando no pueden aplicarse la definición clásica (casos favorables sobre casos posibles) ni la empírica (veces que sucedió el evento sobre cantidad de experimentos cuando n tiende a infinito). Subjetiva es porque no se basa en razones concluyentes sino que se completa el desconocimiento con la intuición.

Ejemplos:

1) Probabilidad de vida inteligente en el sistema solar.

2 )Probabilidad de que me guste una nueva comida.

3) Probabilidad de aprobar un examen.

Relación con la probabilidad con la teoría de conjuntos.

Hemos identificado el espacio muestral con el conjunto universal de la teoría de conjuntos, y los eventos como subconjuntos del espacio muestral. Identificamos también el conjunto vacio (ø) de la teoría de conjuntos con el evento imposible, esto es, un evento que no ocurre. Por ejemplo lanzar dos dados y que la suma me de 14, es un evento imposible. Al espacio muestral se llama evento seguro.

De esta manera de revisión de la teoría de conjuntos en el lenguaje de eventos. Es decir desde que los eventos son tomados como conjuntos, las operaciones de elementos de algebra es decir; intersección unión, inclusión serán definida para eventos; las leyes y propiedades de la teoría de conjuntos son validas.

Reglas de la Adición

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

Reglas de Multiplicación

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Probabilidad condicional Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal

...