Probabilidad

UNIDAD 2 PROBABILIDAD

2.1 PROBABILIDAD DE EVENTOS

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

PROBABILIDAD SUBJETIVA

La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.

PROBABILIDAD FRECUENCIAL

La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo.

PROBABILIDAD CLÁSICA

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P (E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral.

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma, probabilidad de ocurrir. Existen dos procedimientos importantes por medio de los cuales podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso.

Enfoque clásico o a priori Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

Enfoque- como frecuencia relativa o a posteriori. Si después de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, un suceso ocurre h veces, entonces la probabilidad del suceso es h/n. Esto también se llama la probabilidad empírica del suceso.

Ambos enfoques el clásico y el de frecuencia presentan serias dificultades, el primero debido a la vaguedad de las palabras "igualmente factibles" y el segundo debido a la vaguedad incluida en un "número muy grande". A causa de estas dificultades los matemáticos en los últimos años se han orientado a un enfoque axiomático utilizando conjuntos.

2.2 ESPACIO MUESTRAL

Un conjunto que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral, Con frecuencia habrá más de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comúnmente sólo uno que suministra la mayoría de la información. Espacio muestral (U) es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto muestral o muestra.

Ejemplos:

Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara (c) y sello (s): U = {c, s}.

Espacio muestral de un dado: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2.3 OCURRENCIA DE EVENTOS

La unión de dos eventos es el evento que está formado por todos los resultados contenidos en cualquiera de los eventos. La unión se denota por:

E_1⋃E_2

La intersección de dos eventos es el evento que está formado por los resultados contenidos en ambos eventos. La intersección se denota por:

E_1⋂E_2

El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento. Este componente del evento E se denota como E'

s={├ AA,AN,NA,NN}┤

Si

E_1={├ AA,AN,NA}┤

Y

E_2= {├ AN,NA,NN}┤

Entonces

E_1⋂E_2= {├ AN,NA}┤

E_1⋃E_2= {├ AA,AN,NA,NN}┤=s

2.4 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PERMUTACIONES

Una regla de conteo que a veces resulta útil es la regla de conteo para permutaciones. Esta permite que uno pueda calcular el número de resultados experimentales al seleccionar r objetos de un conjunto n objetos, donde es importante el orden de selección. Si los mismos r objetos se seleccionan en otro orden se considera que se trata de un resultado experimental distinto. En las permutaciones sí importa el orden

Regla de conteo para permutaciones

El número de permutaciones de n objetos tomando r a la vez está dado por

P_r^n= n!/(├ n-r)┤!

La regla de conteo para permutaciones tiene estrecha relación con la de las combinaciones. No obstante, un experimento tendrá más permutaciones que combinaciones para el mismo número de objetos porque cada selección de r objetos tiene n! formas distintas para ordenarlos.

COMBINACIONES

Permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar r objetos entre un conjunto de n objetos (por lo común más grande). Se llama regla de conteo para combinaciones. El orden de los

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