Solucionario Calculo Diferencial
JerryuamExamen25 de Junio de 2017
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SEGUNDO ORDINARIO Tercer Cuatrimestre 2015
Valor total: 40 puntos
I Parte. Respuesta Breve. (Valor 15 puntos)
1. Considere las funciones definidas por f (x) = √4 − x2 y h(x) = g (f (x)). Si se sabe que g(x) es diferenciable en 2. Demuestre que h0(0) = 0. (Valor 3 puntos)[pic 4]
Soluci´on: Si h(x) = g (f (x)), al derivar a ambos lados se obtiene h0(x) = g0 (f (x))·f 0(x) y la derivada evaluada en cero corresponde a h0(0) = g0 (f (0)) · f 0(0). Para determinar h0(0) se debe determinar
f (0) y f 0(0). Si f (x) = √4 − x2, entonces f 0(x) = √ −x ; luego f (0) = 2 y f 0(0) = 0. Como g es[pic 5][pic 6]
4 − x2
diferenciable en 2, entonces g0 (f (0)) = g0(2) existe. Por lo tanto, h0(0) = g0 (f (0))·f 0 (0) = g0(2)·0 = 0.
2. Determine la ecuacion de la recta tangente a la curva de f (x) = 6 tan(x) + 4 cos(2x) en el punto (π, 4). (Valor 3 puntos) Soluci´on: La ecuaci´on de la recta tangente es de la forma y = mx + b. Primero se debe determinar el valor de la pendiente m de la recta tangente, que corresponde a la primera derivada de la funci´on evaluada en x = π.
Como f 0(x) = 6 sec2 x − 8 sen(2x) y f 0(π) = 6 sec2 π − 8 sen(2 · π) = −6. Adem´as, el valor de b se obtiene al resolver b = y − m · x ⇒ b = 4 − −6 · π ⇒ b = 4 + 6π.
Por tanto, la ecuacion de la recta tangente a la curva de f (x) = 6 tan(x) + 4 cos(2x) en el punto
(π, 4) corresponde a y = −6x + 4 + 6π.
3. Determine el valor maximo y el valor m´ınimo de la funcion definida por f (t) = 4 cos(t) + 4t en el intervalo [0, π]. (Valor 3 puntos)
Soluci´on: como f es continua por ser suma de funciones continuas, solo es necesario evaluar f en los puntos frontera del intervalo y en los nu´meros cr´ıticos del intervalo.[pic 7]
Se hace f 0(t) = 0 ⇒ −4 sen t + 4 = 0 ⇒ sen t = 1 ⇒ t =
π[pic 8]
π
; ahora, se deben determinar las imagenes
2 π[pic 9]
de los extremos del intervalo y la imagen de t =
, pues t =
2 2
pertenece al intervalo [0, π]. Se tiene
que f (0) = 4, f (π) = −4 + 4 π ≈ 8, 56637 y f π = 2π ≈ 6, 28318.[pic 10]
Por tanto, el valor maximo de f es 8,56637 y lo alcanza en t = π; y el valor m´ınimo de f es 4 y lo alcanza en t = 0.
1
4. Verifique que la funcion definida por f (x) = 4x − 2x en el intervalo [1, 5], satisface las hipotesis del[pic 11]
Teorema del Valor Medio, y determine para esta funci´on, el nu´mero cuya existencia est
garantizada
por dicho teorema. (Valor 3 puntos)
Soluci´on: se tiene que f es una resta de funciones continuas en [1, 5], por tanto f es continua en
[1, 5] y ademas es diferenciable en ]1, 5[; as´ı, f satisface las hipotesis del Teorema del Valor Medio.
Luego, f (5) = 19, 9 y f (1) = 3, 5. Ademas, f 0(x) = 4 +
del Valor Medio, debe satisfacerse que
1
2x2[pic 12]
y f 0(c) = 4 +
1
2c2[pic 13]
. Ahora, por el Teorema
f 0(c) =
f (5) − f (1)
1
⇒ 4 +
= 19, 9 − 3, 5 ⇒ 1
1
= 4, 1 − 4 ⇒[pic 14]
= 0, 1 ⇒ 2c2 = 10 ⇒ c2 =
5 − 1[pic 15]
2c2 4
2c2
2c2
5 ⇒ c = ±
√5, esto implica que los posibles valores de c son
√5 y −
√5; como −
√5 no pertenece al
intervalo [1, 5], entonces el valor de c que cumple el Teorema del Valor Medio es √5.
5. En caso de existir, determine las As´ıntotas Verticales y las As´ıntotas Horizontales de la funcion
x2 + 5x + 6
definida por f (x) =
x2 − x − 12
. (Valor 3 puntos)
Soluci´on: Primero, tome en cuenta que f (x) =
a ) As´ıntotas Verticales.
x2 + 5x + 6
x2 − x − 12[pic 16]
(x + 2)(x + 3)
= . (x + 3)(x − 4)[pic 17]
I. l´ım
f (x) = l´ım
(x + 2)(x + 3)
= l´ım
x + 2
= −1 = 1 .
x→−3
x→−3 (x + 3)(x − 4)
(x + 2)(x + 3)[pic 18]
x→−3 x − 4
−7 7
(x + 2)(x + 3)[pic 19]
II. l´ım
x→4+
f (x) = l´ım
x→4+ (x + 3)(x − 4)
= +∞ y l´ım
x→4−
f (x) = l´ım
x→4− (x + 3)(x − 4)
= −∞.
Por tanto, la grafica de la funcion presenta una As´ıntota Vertical en x = 4.
b) As´ıntotas Horizontales.
I. l´ım
f (x) = l´ım[pic 20]
x2 + 5x + 6
= l´ım
x2[pic 21]
= 1.
x→+∞
x→+∞ x2 − x − 12
x2[pic 22]
x→+∞ x2
x2 + 5x + 6[pic 23]
II. l´ım
x→−∞
f (x) = l´ım
x→+∞ x2
...