Antologia Calculo Diferencial

INSTITUTO TECNOLOGICO de Pabellón de Arteaga

Cálculo Diferencial

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Números Reales

Para empezar el tema de los números reales, un maestro pregunta a su grupo: ¿Qué es un número? Uno de los alumnos responde: un valor, otro dice: una cantidad y un tercero: un símbolo. Y la mayoría de ellos no sabe que responder y se cuestionan si lo que respondieron sus compañeros está bien. Hemos manejado los números reales desde los cuatro o cinco años de edad, pero; ¿qué tan a fondo los conocemos?

La pregunta de qué es un número se la ha hecho la humanidad desde hace muchos siglos. ¿Qué es verdaderamente un número y quién ha dado una buena definición?

Intuitivamente, todo mundo entiende lo que es un número; sin embargo, si se quiere dar una definición formal no es una pregunta simple de contestar y la prueba es que le llevó varios siglos a la humanidad obtener una respuesta adecuada.

Existen varias formas de abordar los números reales, la más conocida y natural es la que propuso el matemático Giuseppe Peano(1958–1932) y consiste en caracterizar los números naturales o enteros positivo N = {1,2,3,…} por medio de cinco axiomas, llamados precisamente los axiomas de Peano y construyendo los demás: enteros negativos, fracciones e irracionales a partir de ellos.

Una vez que se han caracterizado los números naturales no es muy difícil construir los enteros negativos y los racionales. Sin embargo para los números irracionales ya no es un proceso algebraico tan sencillo. El primero que trató la caracterización de la continuidad de los números reales, como se conoce en la actualidad fue Richard Dedekind (1831–1916), quien con una idea bastante ingeniosa relacionó los números reales con una semi-recta y formalizó el concepto usando lo que él llamó cortaduras, conocidas como cortaduras de Dedekind. Hay otra forma de definir los números irracionales; ésta fue propuesta por Augustin- Louis Cauchy (1789–1857) utilizando sucesiones, precisamente a éstas sucesiones se les llama sucesiones de Cauchy. En la última unidad uno de los criterios de convergencia para sucesiones y series es conocido como el criterio de Cauchy, en honor a este matemático francés.

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Existe otra manera de construir los números reales la cual parte de conceptos más elementales como son los conjuntos y las leyes de la lógica simbólica para formar los números naturales. De ahí de sigue la misma construcción para el resto de los números como en el caso anterior. Esta construcción como se puede ver parte de conceptos más elementales y pretende esclarecer un poco más la pregunta conceptual de qué son los números. Lo importante de todo esto, es que en cualquier construcción se han utilizado diversas aportaciones de grandes matemáticos que han resuelto los problemas angulares en el significado de los números reales.

Una de las formas más sencillas de construir los números reales, sobre todo si lo que se quiere es solamente utilizarlos, es partir de diez axiomas básicos y algunas definiciones que reúnen la esencia de la estructura de los números, esto es, de dichos axiomas se pueden desprender todas las demás propiedades.

Antes de seleccionar la forma de presentar el material de los números reales deberíamos de hacernos las siguientes preguntas.

¿Qué tan importante deben ser los números reales para una persona que piensa estudiar cálculo diferencial e integral?, ¿Qué tan a fondo debe saberlos?

Si reflexionamos un momento veremos que el cálculo diferencial e integral es el estudio de funciones de números reales, por lo que un mayor dominio de éstos deberá redundar en una mejor compresión de las ideas del cálculo. Por eso creemos que es indispensable un buen conocimiento de los números y poder manejarlos con la suficiente facilidad y seguridad cada vez que sea necesario.

Lo que deseamos es saber que propiedades cumplen los números para poder utilizarlos y no profundizar en su estudio a nivel de fundamentación lógica o filosófica, por lo que utilizaremos la última opción mencionada.

Para esto, se dividirán en tres partes las diez propiedades o axiomas. Los primeros seis llamados axiomas de campo caracterizan las operaciones y fundamentan el manejo de expresiones algebraicas como las conocemos. Las siguientes tres, llamadas axiomas de orden caracterizan los números positivos y negativos y son la pauta para el manejo de desigualdades numéricas. Y por último la propiedad décima o axioma del supremo es la que formaliza en una forma sencilla la propiedad concebida por Dedekind y que le da a los números reales la

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continuidad, la cual es necesaria para definir el concepto de límite, idea central en el estudio del cálculo.

Finalmente, el objetivo principal que se pretende en este capítulo es, aparte de dar una caracterización completa de los números reales, la de presentar un proceso sistematizado de argumentación. Deseamos que el alumno se acostumbre a saber si cada uno de los pasos algebraicos que hace está bien o no, además de entender y poder interpretar el resultado de un paso o de un desarrollo cualquiera. Pues no es deseable que el alumno aprenda simplemente procesos mecanizados, sino que debe ser capaz de hacer la relación con la teoría y en caso de que un procedimiento no sea idéntico a algún otro que ya conoce, tenga la suficiente preparación como para poder establecer la conexión entre ambos o idear el proceso adecuado.

Pero esto no se puede lograr de la noche a la mañana, es un procedimiento lento, el cual además de estudio requiere de la metodología adecuada y suficiente práctica. Esto es, es necesario que el alumno se acostumbre desde las bases algebraicas a trabajar formalmente los elementos matemáticos, para que cuando se aborden los temas de cálculo ya se haya desarrollado en él la inquietud por justificar y comprobar sus resultados.

Clasificación de los números reales

1.- Números Naturales; Es el conjunto formado por los enteros positivos.

2.- Números Enteros; Es el conjunto formado por los números naturales, el cero y los enteros negativos.

3.- Números Racionales; Es el conjunto formado por los números resultado de dividir

En notación de conjuntos

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Ejemplo

y cada numero racional se puede escribir como decimal finito o periódico.

Ejemplo de decimal finito son

Y de decimal periódicos son

4.- Los Números Irracionales son aquellos que su cociente es un decimal infinito no periódico, tales como

entonces por las definiciones anteriores tenemos que:

Los Números Reales son el conjunto formado por:

Propiedades de los

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