Antologia-Calculo Diferencial

Introducción

Durante este trabajo de antología vamos a dar a conocer diversos temas entre ellos teoremas como recta tangente  y recta normal a una curva en un punto. Teorema de rolle, lagrange y valor medio. Una Función creciente y decreciente  criterio de la primera y segunda derivada análisis de variación de funciones , entre los cuales mostramos su concepto y definición se muestra como se trabaja como se aplican en la vida cotidiana que es algo muy importante lo que se espera de esta antología es ser de utilidad para el lector ya que lo más importante es entender y saber manejar cada uno de los temas ya que son importantes en el cálculo y en la vida del ingeniero , buscamos que estos temas sea aptos para el lector y de beneficencia .

Contenido

Aplicación de máximos y mínimos 3

 Máximos 4

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 4

 Mínimos 4

Crecimiento y decrecimiento 6

Ejemplo 7

Ejemplo 7

Ejemplo 7

Ejemplo 9

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

 Localización de máximos y mínimos 11

Ejemplo 12

Recta normal a una curva en un punto 16

Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión. 16

Ejemplo: 16

Ejemplo 17

Ecuación de la recta normal 18

Teorema de Rolle 19

El teorema de Rolle dice que: 19

Criterio de la primera derivada 25

Crítico de la segunda derivada 27

Conclusión…………………………………………………………………28

Bibliografía………………………………………………………………29

DERIVADAS

Aplicación de máximos y mínimos

Existen muchos problemas del mundo real cuyas diferentes posibles soluciones van primero creciendo y luego decreciendo o la inversa, lo que implica que tienen un valor máximo o un valor mínimo, los cuales no pueden ser encontrados por métodos algebraicos, sino solamente con, la aplicación del cálculo diferencial.

• La parte medular de la solución de estos problemas consiste en saber construir una función que describa el comportamiento del fenómeno enunciado. Una vez construida dicha función, simplemente se le aplica el procedimiento de encontrarle sus máximos y/o mínimos.

Máximos y Mínimos

Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

REGLA PARA ENCONTRAR LOSMAXIMOS Y MINIMOS

Se encuentra la primera derivada de la función

Se iguala a cero la primera derivada y se encuentran las raíces de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.

Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico

y después para un valor un poco mayor que el valor crítico.

Si el signo de la derivada es primeramente + y después – la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

Función Creciente y decreciente (máximos y mínimos)

Crecimiento y decrecimiento

Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un cierto intervalo.

Decimos que una función f(x) es creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2entonces f(x1)⩽f(x2).

Decimos que una función f(x) es decreciente en intervalo [a,b] ssi dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2entonces f(x1)⩾f(x2).

Las funciones que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes).

Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando x se hace grande.

Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyen.

Decimos que una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)<f(x2).

Decimos que una función f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)>f(x2).

A continuación podemos ver unos ejemplos:

Ejemplo

Todas las funciones del tipo f(x)=ax+b cuando a>0 son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuando tomemos a<0 obtendremos funciones estrictamente decrecientes (y por consiguiente decrecientes).

Ejemplo

La función f(x)=x2 es una función decreciente en el intervalo (−∞,0] y creciente en [0,+∞).

Ejemplo

Las funciones constantes son funciones que a la vez son crecientes y decrecientes (se mantienen constantes).

Máximos y mínimos

Cuando representamos una función podemos ver que a veces aparecen puntos que son máximos o mínimos relativos o globales.

Como podemos ver en el siguiente ejemplo, podemos observar que en x=0 la función f(x)=x2 tiene un mínimo: 

Definamos pues correctamente el concepto de mínimo y máximo relativo y global:

Un punto x0 se denomina máximo global si para todo punto x del dominio, la función cumple f(x)⩽f(x0).

Un punto x0 se denomina mínimo global si para todo punto x del dominio, la función cumple f(x)⩾f(x0).

Un punto x0 se denomina máximo relativo si para todo punto x de un entorno de x0  [x0−ε,x0+ε] (donde ε es un valor pequeño), la función cumple f(x)⩽f(x0).

Un punto x0 se denomina mínimo relativo si para todo punto x de un entorno de x0  [x0−ε,x0+ε] (donde ε es un valor pequeño), la función cumple f(x)⩾f(x0).

Para

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