Trinomio cuadrado perfecto

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos que se están sumando o restando. Un binomio al cuadrado es aquel que se multiplica por sí mismo, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es

(a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2.

Un binomio al cuadrado siempre da como resultado un trinomio cuadrado perfecto, esto significa que el trinomio tiene dos términos que son una raíz cuadrada exacta. Para resolver un binomio se aplica la siguiente regla:

El cuadrado del primer término (+) ó (-), depende del signo del binomio, el doble producto del primero por el segundo (+) el cuadrado del segundo.

Aplicando la regla para resolver el binomio (a +b)2: Se toma el cuadrado del primer término: a2. Se aplica el signo del binomio: (+). Se toma el doble del producto del primer término más el segundo: 2ab. Se suma el cuadrado del segundo término:

b2 Entonces (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación se tiene:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

(a + b)2 = aa + ab + ba + bb

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.

Ejemplo. Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.

Usando la identidad se tiene que:

(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)

(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)

(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25

Binomio al cuadrado de resta

La identidad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicación tenemos:

(a - b)2 = (a - b)(a - b)

(a - b)2 = aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)

(a - b)2 = aa - ab - ab + bb

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el término del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.

Ejemplo. Elevar al cuadrado 3x2 - z.

Usando la identidad:

(3x2 - z)2 = (3x2)(3x2) - 2(3x2)(z) + (z)(z)

(3x2 - z)2 = 9x4 - 6x2z

CONTINUIDAD

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x <= 2

2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:

f es continua en a por la derecha

f es continua en b por la izquierda

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).

(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

f(x) = x2 si x≠2

8 si x=2

f(2) = 8

limx->2 f(x) = 4

Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1ª especie:

limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).

(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

limx->2-f(x) = -inf

limx->2+f(x) = +inf

2ª especie:

No existe limx->a-f(x)

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