Trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio conformado por tres términos) donde, dos de sus términos son bases elevadas al cuadrado, y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. 

Es decir, el resultado de la operación del cuadrado de un binomio

¿Qué son las "bases"? En una potencia (como x2, 25, etc.), se le llama "base" al número o letra que está elevado; es decir "el número o letra que está debajo del otro". Por ejemplo: 

¿Por qué se habla de "doble producto"? "Producto" se le llama a la multiplicación. "Doble" es "multiplicado por dos". "Doble producto" es "una multiplicación, multiplicada por dos". En este tema, al calcular el Cuadrado de un Binomio, aparece un "doble producto" que da como resultado el trinomio cuadrado perfecto.

La representación del Trinomio Cuadrado Perfecto es la siguiente:

[pic 1]

Dado Como el resultado del cuadrado de un binomio:

[pic 2]

Algunos ejemplos son:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos: [pic 7]

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Siendo la regla: el cuadrado de cualquier binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas:

1. El polinomio pueda ser que se encuentre ordenado o desordenado, en potencias descendentes de una variable.
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos.
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo
5. En resumen: Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término

Ejemplos:

1. x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2
   x                3
        2(3)(x)
            6x

Hay que encontrar el cuadrado de los dos términos. En este caso, son: x2 y 9 

Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2(x)(3) = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). 

El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 

1. x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
   x            1
      2(1)(x)
         2x

Recordar que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Y las bases son: x y 1
La verificación de que es cuadrado perfecto: es 2(x)(1) = 2x 

El resultado es (x + 1)2

1. x2   -  10x   +   25 = (x - 5)2
   x                   (-5)
         2(-5)(x) 
           -10x

Hay que tomar como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. 

Y con (-5), la verificación del doble producto da bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea [x + (-5)]2, que es igual a (x - 5)2

1. x     +     x2   +    1/4 = (x + 1/2)2
                  x           ½

2(x)(1/2)
     x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Hay que verificar cuál de los 3 términos son las bases, las cuales son "x" y "1/2".El doble producto está en el primer término, y el resultado sería (x + 1/2)2

1. 9x2  +  30x  +  25 = (3x + 5)2
   3x                  5
         2(5)(3x)
            30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 es igual a 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).

El doble producto está en el segundo término, y el resultado sería (3x + 5)2

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