La Matemáticas

PROGRAMACION LINEAL (CON DOS VARIABLES) (X-Y)

TEORIA

Apareció para resolver problemas de carácter logístico y militar, aunque actualmente se aplica a la resolución de problemas económicos y sociales (problemas de mezclas, distribución de factorías, planes de producción, almacenaje, problemas de circulación, estudios de comunicación internas, etc.,), mediante técnicas matemáticas.

Se trata de encontrar la solución óptima consistente en optimizar (maximizar beneficios o minimizar costes) una función f(x, y) = ax + by + c llamada función objetivo con una serie de restricciones (condiciones que han de satisfacer las variables de decisión x e y) formuladas como desigualdades, pues los recursos económicos suelen ser limitados.

Al conjunto de todas las soluciones posibles (valores x e y que verifican todas y cada una de las restricciones) se le llama conjunto de soluciones factibles o región factible.

La región factible de dos variables es una región del plano limitada por las rectas que forman las restricciones (intersección de la solución de cada una de las inecuaciones).

EJERCICIO

1. El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

2. Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1.

SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:

de donde y

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:

de donde y

Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .

3. Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.

SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción.

Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:

Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego:

Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

Quitando los denominadores:

Trasponiendo y reduciendo:

Restando:

4. Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2?

SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33.

Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.

Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema:

Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.

EJEMPLOS:

1. Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

Si representamos en los mismos ejes de coordenadas cada una de las rectas que salen al considerar las anteriores desigualdades como ecuaciones e indicamos mediante una flecha el semiplano solución de cada una de ellas por separado, la solución será la región del plano sombreada en la figura que es la intersección de los semiplanos solución de cada inecuación. Para la representación rápida de las rectas, basta con encontrar los puntos donde cortan a los ejes de coordenadas y unirlos entres sí.

La recta:

x+y-1=0 corta al eje X (hacemos y=0) en (1, 0) y al eje Y (hacemos x=0) en (0, 1)

La recta :

2x+3y+4=0 corta a X en (-2, 0) y a Y en

La recta:

x-2y-2=0 corta a X en (2, 0) y a Y en (0, -1).

2. Hallar el máximo y mínimo de la función f(x, y) = x-y en el recinto convexo solución del sistema de inecuaciones del último ejemplo.

Dado que la gráfica ya la tenemos (la reproducimos aquí poniendo nombre a los vértices del recinto que sólo son dos A y B pues el conjunto solución es abierto y no acotado):

El punto A es la solución del sistema de ecuaciones

luego

El punto B es la solución de:

siendo, pues

Los valores de la función en ambos vértices son:

La función presenta un máximo en el punto B pero no hay ningún valor mínimo al no ser el recinto acotado (luego veremos la discusión de estos problemas).

Cabe preguntarse ahora: ¿Siempre hay punto máximo o mínimo de una función lineal en dos variables en un recinto convexo?

La respuesta es que la solución puede ser única. Infinitas o ninguna. Veamos los casos que pueden darse:

• Si el recinto es cerrado existe una solución única para el máximo y otra para el mínimo en alguno de los vértices si en todos ellos la función toma valores distintos.

• Si es cerrado pero hay dos vértices consecutivos en los que la función toma el mismo valor (y ese valor es por ejemplo máximo), entonces toma el mismo valor en todos los puntos del segmento que une ambos vértices, luego la función infinitos máximos y un mínimo. Al contrario sucedería si el valor común de los dos vértices fuese mínimo, habiendo entonces infinitos mínimos y un máximo.

• Si el recinto convexo no está acotado superiormente, no existe máximo aunque sí mínimo.

• Si el recinto convexo no está acotado inferiormente, no existe mínimo aunque sí máximo.

LEY DE SENO

TEORIA

A pesar de ser de los teoremas

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