1.2.1. Operaciones con Vectores y sus Propiedades

Unidad 1.  Algebra de  Vectores

1.2.1. Operaciones con Vectores y sus Propiedades

1. Un barco recorre 5 kilómetros hacia el norte y luego 3 kilómetros hacia el noroeste. Representa estos vectores desplazamiento y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.[pic 1]

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[pic 32]

    El vector OP o A es el desplazamiento      de 5 Km hacia el Norte.

PQ o B  es el desplazamiento de 3 Km hacia el Noroeste.

El  vector OQ o C  es suma de los vectores o vector resultante de A y B , es decir, C = A + B.  El vector resultante OQ  se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo OPQR construido con los vectores OP = A y OR 

a). Determinación gráfica de la resultante. Se mide la longitud de la diagonal con la misma unidad de longitud de 1 Km adoptada para los otros vectores. Así se deduce el valor de 7.4 Km aproximadamente. Mediante un transportador se mide el ángulo O0Q = 73.1º. Por lo tanto, el vector OQ tiene de módulo 7.4 Km y dirección y sentido O-73.1º-N

b). Determinación analítica de la resultante. En el triángulo OPQ llamado A, B, C a los módulos de los vectores A, B, C, respectivamente, por el teorema del coseno calculamos el lado C del triángulo de la siguiente manera: C2 = A2 + B2 – 2ABcos 0PQ,

Sustituyendo:  

C2 = (5)2 + (3)2 – 2(5)(3) cos 135°      C=            Donde C = 7.43 Km[pic 33]

Aplicando el teorema de los senos se deduce la dirección y el sentido: [pic 34]

    Sen Q = =   0.47       [pic 35][pic 36][pic 37]

De donde el ángulo Q = 28°1’. En consecuencia, el vector OQ, tiene de módulo 7.43 Km y una dirección que forma un ángulo con la dirección Este de (45º + 28°1´) = 73°1´, esto es, su dirección y sentido quedan definidos por O- 73º1´-N

2. Un automóvil recorre 4 kilómetros hacia el sur y luego 7 kilómetros hacia el sureste. Representa estos vectores desplazamiento y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.

[pic 39][pic 38]

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[pic 46][pic 47][pic 48][pic 50][pic 51][pic 49][pic 52]

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El  vector OP o A es el desplazamiento de 4 Km hacia el Norte.

El  vector PQ o B es el desplazamiento de 7 Km hacia el Noroeste.

El  vector OQ o C es el desplazamiento resultante  de A y B, es decir, C = A + B. El vector resultante OQ  se puede obtener trazando la diagonal del paralelogramo OPQR construido con los vectores OP = A y OR.

a). Determinación gráfica de la resultante. Se mide la longitud de la diagonal con la misma unidad de longitud de 1 Km adoptada para los otros vectores. Así se deduce el valor de 10.22 Km aproximadamente. Mediante un transportador se mide el ángulo E0Q = 60º23’. Por lo tanto, el vector OQ tiene de módulo 10.22 Km y dirección y sentido E-60º23’-S

b). Determinación analítica de la resultante. En el triángulo OPQ llamado A, B, C a los módulos de los vectores A, B, C, respectivamente, por el teorema del coseno calculamos el lado C del triángulo de la siguiente manera: C2 = A2 + B2 – 2ABcos 0PQ,

sustituyendo:  

C2 = (4)2 + (7)2 – 2(4)(7) cos 135°      C=   donde C = 10.22 Km[pic 75]

Aplicando el teorema de los senos se deduce la dirección y el sentido: [pic 76]

    Sen Q = =   0.27  [pic 77][pic 78][pic 79]

donde el ángulo Q = 28°1’. En consecuencia, el vector OQ, tiene de módulo 7.43 Km y una dirección que forma un ángulo con la dirección Este de (45º + 15°39´) = 60°23´, esto es, su dirección y sentido quedan definidos por E- 60º23´-S

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