Contenido matematico

SUBOBJETIVO DE APRENDIZAJE                

“Interpretar correctamente los conceptos de Momentos y centros de masa”.

1. Momentos y centros de masa: las integrales dobles poseen múltiples aplicaciones dentro del área de la ingeniería y entre ellas están el cálculo del centro geométrico de una región plana homogénea y no homogénea, los momentos de inercia de áreas planas y el centro de masa.

1. Masa de una lámina con densidad superficial : supongamos que tenemos una lámina de región superficial R, la cual es cerrada y está sobre el plano XY , la misma posee una medida de la densidad superficial dada por la función  variable (es decir, no es homogénea), la cual varía de acuerdo a la posición del punto (x, y) sobre el cual nos encontremos posicionados, cabe resaltar acá que si es un valor fijo constante quedara sobre entendido que la densidad superficial es constante y se puede aludir a una densidad superficial homogénea, ahora bien si consideramos un elemento diferencial de lámina con coordenadas  y masa  verimaos que su densidad sería  que nos permite reescribir el diferencial de masa de este elemento como: , si particionados la superficie de la lámina de tal manera que el número de dA = dxdy tienda a infinito notaríamos que al hacer la suma de todos estos  su valor convergería a la masa total de la lámina, esto es:[pic 11][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 12]

1. Momentos de masa de primer orden () respecto a los ejes coordenados de una lámina con densidad superficial :[pic 13][pic 14]

Momento de masa i-ésimo de primer orden respecto al eje x (): se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia que guarda este respecto al eje y, es decir, .[pic 15][pic 16][pic 17]

Momentos de masa de primer orden respecto al eje coordenado x de una lámina con densidad superficial  : Se llama momento de masa de primer orden respecto al eje coordenado x o momento de primer orden respecto al eje x al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos de primer orden respecto al eje x de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

Momento de masa i-ésimo de primer orden respecto al eje y(): De forma análoga al eje x se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia que guarda este respecto al eje x, es decir, .[pic 22][pic 23][pic 24]

Momentos de masa de primer orden respecto al eje coordenados y de una lámina con densidad superficial  : Se llama momento de masa de primer orden respecto al eje coordenado y o momento de primer orden respecto al eje y al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos respecto al eje y de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Observación: los momentos de masa de primer orden con respecto a los ejes coordenados son de gran utilidad al momento de determinar los centros de masa en regiones planas con densidad superficial de masa .[pic 29]

Centro de masa (centroide geométrico de masa o centro de gravedad) de una región plana con densidad superficial de masa : es el punto del plano xy sobre el cual reposa la lámina de región superficial R (coplanar), que puede estar dentro a fuera de la región R, y está definido por la expresión:[pic 30]

[pic 31]

1. Momentos de masa de segundo orden () respecto a los ejes coordenados de una lámina con densidad superficial :[pic 32][pic 33]

Momento de masa i-ésimo de segundo orden respecto al eje x (): se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia al cuadrado que guarda este respecto al eje y, es decir, .[pic 34][pic 35][pic 36]

Momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados x de una lámina con densidad superficial : Se llama momento de masa de segundo orden respecto al eje coordenado x o momento de segundo orden respecto al eje x al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos de segundo orden respecto al eje x de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 37][pic 38]

[pic 39]

Momento de masa i-ésimo de segundo orden respecto al eje y ():de forma análoga al eje x se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia al cuadrado que guarda este respecto al eje x, es decir, .[pic 40][pic 41][pic 42]

Momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados y de una lámina con densidad superficial  : Se llama momento de masa de segundo orden respecto al eje coordenado y o momento de segundo orden respecto al eje y al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos de segundo orden respecto al eje y de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 43][pic 44][pic 45]

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