Determinantes de una Matriz

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN TELECOMUNICACIONES Y REDES

ALGEBRA LINEAL----- SEGUNDO “B”

Nombre: Héctor Rodrigo Altamirano Benalcázar          Código: 285

DETERMINANTES DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

En este curso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.

Determinantes de matrices de orden inferior:

El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.

Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

[pic 1]

El valor del determinante es igual al único término de la matriz:

[pic 2]

Los determinantes de una matriz de orden 2:

[pic 3]

se calculan con la siguiente fórmula:

[pic 4]

Dada una matriz de orden 3:

[pic 5]

En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

[pic 6]

[pic 7]

Determinante de matrices de orden superior:

El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante.

En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula).

Los métodos que vamos a indicar sirven para determinantes de cualquier orden, como por ejemplo los de orden 4 o 5.

Triangulación de un determinante

Utilizando la propiedad 9 de los determinantes podemos conseguir un determinante triangular (sup. o inf.) y,  su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal. La técnica para triangular un determinante es similar a la aplicada en el método de Gauss.

Reducción del orden

Ejemplo: Calcula el valor del determinante D=[pic 8].

Solución: Desarrollando por la 1ª columna:

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