Determinantes De Una Matriz

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINESTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “SIMÓN RODRÍGUEZ”

SAN CARLOS – ESTADO COJEDES

FACILITADOR: ESTUDIANTE:

Lic. Germán Noda Katerine Yuni

C.I.: 19.543.542

SAN CARLOS, MARZO DEL 2014

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de los determinantes nació en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; pero en nuestros días tiene numerosas aplicaciones en distintas ramas de la matemática y de la física. Los determinantes tuvieron su debut en las matemáticas mucho antes que las matrices. El término matriz fue elaborado por James Joseph Sylvester, dando a entender que era “la madre de los determinantes”.

Estos fueron implantados en Occidente a partir del siglo XVI, las matrices no aparecieron hasta el siglo XIX. Cabe destacar que los chinos fueron los primeros en usar la tabla de ceros y en emplear un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con la designación de Eliminación de Gauss-Jordan.

En la presente investigación se estudiarán las matrices, los determinantes, sus propiedades, los determinantes de orden tres, estos son los más sencillos, la forma de resolverlos los distintos métodos para hacerlo. También se abarcara parte de cofactor adjunto menor de una matriz lo que son los sistemas de ecuaciones lineales.

QUE ES UNA MATRIZ

Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ejemplo

Dada la matriz

Es una matriz de tamaño . La entrada es 7.

La matriz

Es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.

DTERMINANTE DE UNA MATRIZ

MATRIZ NULA

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn definida sobre un anillo K asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz nilpotente y matriz singular.

MATRIZ CUADRADA

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. En una matriz cuadrada, los elementos , con forman la diagonal principal mientras que se llama diagonal secundaria a los elementos , que verifican que .

MATRIZ DIAGONAL

Es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal.

Ejemplo:

MATRIZ ESCALAR

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA

Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

Para una matriz, se define la matriz transpuesta de,

denota por ,

Como:

Es decir, las filas de la matriz corresponden a las columnas de y viceversa.

DETERMINANTES

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det. (A) o también por

(Las barras no significan valor absoluto).

COFACTOR ADJUNTO Y MENOR DE UNA MATRÍZ

Dada una matriz cuadrada A, su matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A. El término matriz adjunta adj (A) suele crear confusión, ya que en muchos tratados clásicos sobre álgebra lineal corresponde a la matriz de cofactores traspuesta,1 2 3 sin embargo, en otros textos, se corresponde a la matriz de cofactores, puesto que llaman de la misma manera adjunto al cofactor y de ahí que sea adjunta.4 5 Aparte, también se utiliza el símbolo adj( ) indistintamente a cof( ) para el cálculo en los elementos de una matriz, haciendo, si cabe, la confusión más amplia. El interés principal de la matriz adjunta es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

Donde adj (A) corresponde a la matriz de cofactores traspuesta, o sea,

.

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTE CON MATRICES DE ORDEN 3

Son los que están

...