Ecuaciones Diferenciales y en diferencia

Unidad de Competencia 1

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que al menos tiene una derivada.
Ejemplos:
1)                      2)                     3) [pic 1][pic 2][pic 3]

4)  5)       6) [pic 4][pic 5][pic 6]

7) [pic 7]

Observaciones:
- Si hay una sola variable independiente como los casos del 1) al 5) se les llama derivadas ordinarias.
-Si hay 2 o más variables independientes se les llama ecuaciones entre derivadas parciales.
Orden de una ecuación diferencial 
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que interviene en ella, no es el grado de exponente.
Por lo que:
- Las ecuaciones 1), 3) y 6 son de 1er orden.
- Las ecuaciones 2), 5) y 7) son de 2do orden
-La ecuación 4 es de 3er orden.

Clasificación de la lineabilidad
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:

[pic 8]

De esta forma, se caracterizan las E.D. por dos propiedades:
1) La variable independiente y todas sus derivadas son de primer grado. Quiere decir que la potencia de cada término que involucra “y” es 1.
2) Cada coeficiente depende solo de la variable independiente x.

1.     E.D de 1er orden.[pic 9]
2.  E.D de 2do orden.[pic 10]
3. E.D de 3er orden[pic 11]

Solución de una ecuación diferencial
Se dice que una función f cualquiera definida en un Interval I es solución de una ecuación diferencial en un intervalo I, si sustituida en dicha ecuación se recude a una identidad.
En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria es igual a 0
[pic 12]

Ejemplo:

Pruebe que  es una solución de la ecuación no lineal
  en  [pic 13][pic 14][pic 15]

Igualar a 0 la E.D
[pic 16]

1. Obtenemos las derivadas indicadas de la ecuación función
                 [pic 17][pic 18]
2. Sustituimos en E.D (cada uno de los términos involucrados)
   Sustituyendo:
                       
   [pic 19][pic 20][pic 21]

                                          [pic 22][pic 23][pic 24]

Compruebe que  es una solución de la E.D.
[pic 25][pic 26]

Igualar a 0 la E.D
[pic 27]

Obtenemos las derivadas indicadas de la ecuación función
[pic 28]

Sustituir
[pic 29]

Compruebe que  es una solución de la Ecuación Diferencial [pic 30][pic 31]

Igualar a 0 la E.D.
[pic 32]

Obtener las derivadas indicadas.
[pic 33]

1. Sustituir

[pic 34]

Compruebe que  es una solución Ecuación Diferencial [pic 35][pic 36]

Igualar a 0 la E.D
[pic 37]

Obtener las derivadas indicadas.
[pic 38]

1. Sustituir

[pic 39]

[pic 40]

Número de soluciones

Una ecuación diferencial tiene generalmente un número infinito de soluciones.
Podemos demostrar que cualquier función de la familia  donde  es cualquier constante arbitraria satisface la ecuación diferencial:[pic 41][pic 42]

[pic 43]

Derivada:

[pic 44][pic 45]

¿Satisface la ecuación diferencial?
[pic 46]

De acuerdo a lo anterior:
     es una función que representa una familia uniparamétrica de curvas paralelas [pic 47]

[pic 48]

Para cualquier valor de  la función  es una solución de la ecuación diferencial de primer orden
     

1) La E.D se puede ver como:
[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

2) Obtener derivada: 
[pic 54]

[pic 55]

...