El espacio vectorial R2, longitud y dirección

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                   Universidad Tecnológica

                             de México.

                   Unitec Campus Ecatepec

Ingeniería Industrial y Administración

Entregable N°1

Alumno: Kevin Alvaro Rojas González

N° de cuenta: 21269738

Materia: Algebra Lineal

Profesor: Alfredo Ortiz Sanchez

Tema: El espacio vectorial R2, longitud y dirección

Fecha de Entregable: 11/Julio/2021

Introducción

Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por una dirección, un sentido y un módulo. Estas definiciones las hemos visto en el curso de Matemática Básica I y se suelen dar para vectores de 2 y 3. También conocemos que dos vectores en 2 y en 3 se pueden sumar analíticamente (es decir sumando cada y geométricamente (mediante la regla del paralelogramo). Además, también se puede multiplicar un número (escalar) por un vector, cuyo resultado es “alargar” o “encoger” el vector o cambiarle su sentido en función de si el número es negativo o no. Por tener definidas estas operaciones (y cumplir una serie de propiedades) se dice que 2 (o 3) es un espacio vectorial.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.
Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V.
1. u+v∈V
2. u+v=v+u
3. (u+v) +w=u+(v+w)
4. Existe un vector nulo 0V∈V tal que v+0V=v
5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈V tal que v+(–v) =0V
6. αv∈V
7. α(u+v) =αu+αv
8. (α+β) v=αv+βv
9. α(βv) =(αβ)v
10. 1v=v

En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que V es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo, los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Cuerpo de trabajo

Los vectores del espacio vectorial R2 son parejas ordenadas (x, y) de  números reales,  las cuales  podemos representar  en el plano cartesiano; sin embargo, para muchas aplicaciones que incluyen fuerza, velocidad, aceleración, momento, etc., es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección. Esto nos lleva a la siguiente definición:

[pic 3]

[pic 4][pic 5]

Al punto P del segmento dirigido PQ → se le llama punto inicial y a Q punto terminal. Si desplazamos el segmento PQ → en forma paralela de modo que P se encuentre exactamente en el origen, obtendremos un segmento dirigido equivalente al original, ya que tienen la misma longitud, dirección y el mismo sentido.[pic 6]

Esta equivalencia será muy útil ya que podremos identificar a cada punto P del plano cartesiano como un vector dirigido que tiene como punto inicial al origen y a P como punto terminal; a sus coordenadas (x, y) se les llama componentes del vector.

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