Elipse y circunferencia

ELIPSE

Trazo de una elipse.

Empecemos por recordar la definición de elipse: es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que a suma de su distancia a dos puntos fijos es constante, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijos.

En la siguiente figura se muestra una elipse en la que podemos distinguir sus elementos:

[pic 1]

• Focos. F y F’ son los puntos fijos denominados focos
• Eje focal. recta que pasa por los dos focos, en la figura es la recta L.
• Vértices. Son los dos puntos de intersección de la elipse con su eje focal, en la figura son los puntos V y V’.
• Centro de la elipse. Es el centro de la elipse que se encuentra en el punto medio entre los dos vértices, se representa con la letra C .
• Eje mayor. Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse; en la figura es el segmento VV’.
• Eje menor. Es el segmento de la recta que pasa por la elipse (es decir por el punto C) y es perpendicular al eje focal, en la figura es el segmento BB’.
• Lado recto. Es el segmento de recta perpendiclar al eje focal que pasa por uno de sus focos y cuyos extremos están sobre la elipse.. la elipse presenta dos lados rectos dado a que tiene dos focos, en la figura los lados rectos se representan con LR y L’R’.

De la definición y los elementos de la elipsis podemos deducri el siguiente método para trazar una con un trozo de hilo y lápiz.

1. Corta un hilo de longitud 2a y ata sus extremos a dos puntos: F1 Y F2.[pic 2]
2. Tensa el hilo con la punta de un lápiz, como se muestra en la imagen, el lápiz trazará en su movimiento una elipse con focos en los puntos f1 y F2 ya que la suma de las distancias desde la punta del lápiz a cada uno de los focos es constante; es decir siempre es igual a 2a.

También a partir de la definición de elipse se tiene el método siguiente, que permite trazar con una regla y un compás; para ello, se ubica un conjunto de puntos como se indica a continuación:

[pic 3]

1. Se trazara una línea recta y sobre ella se marcara el centro de la elipse.
2. A partir de ese punto, y con ayuda del compás se trazan los vértices, V y V’, que deben de estar a la misma distancia del  centro.
3. Con una abertura menor a la anterior se marcaran los focos, F y F’ sobre la línea.
4. Se considera un punto P cualquiera situado sobre el eje mayor entonces se abre el compás en una distancia igual a la longitud del segmento V’P.
5. Se coloca el compras en el foco F’ y se trazan dos arcos uno arriba y otro abajo del eje mayor.
6. Tomando como centro el foco F, se repite el paso anterior solo que tomando como un radio igual a la longitud PV.
7. Se encuentran las dos intersecciones de los arcos definidos en los pasos anteriores estos serán puntos de la elipse.
8. Finalmente para encontrar más puntos de la elipse se repite el paso 4 con otro punto P que se encuentre entre V y V’, hasta tener suficientes puntos para crear la elipse.

Elipse con centro en el origen.

Ahora veremos la elipse referida a un sistema de ejes coordenados. La condición geométrica que define a la elipse queda traducida en una ecuación, que relaciona las coordenadas de los puntos de la elipse.

Una elipse horizontal o vertical  según que su eje mayor a esté de estas posiciones.

Cuando el centro de una elipse horizontal o vertical se halla en el origen, su ecuación adopta la forma más sencilla:

[pic 4]

Siempre a denota la longitud del semieje mayor, y b la del semieje menor.[pic 5]

Ejemplo

Escribir la ecuación de la elipse con centro en el origen, delimitada por el rectángulo de lados 6 y 8:         a) horizontal.                 b) vertical.

1. a= 4                 b=3                

                        Porque 2a = 8 y  2b=6[pic 6]

        Modelo de la ecuación para elipse horizontal. Remplazando  por 16 y  por 9.[pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

b) a=4         b=3

   Porque 2a = 8  y  2b=6, modelo de ecuación vertical              para la elipse. Reemplazando por 9 y  por 16.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

Exentricidad de la elipse.

Se denomina excentricidad de la elipse a la razon de sus ejes determinada por la longirud de su eje mayor y la distancia entre sus focos. Si indicamos la excentricidad con la letra e tenemos:

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Como e es menor que a,  entonces e es menor que una unidad; por otro lado, como se tiene que:[pic 19]

[pic 20]

Entonces:

                   y         [pic 21][pic 22]

La exentricidad caracteriza la formula de la elipse; de esta manera, cuanto mas se aproxime a la unidad, menor sera el volor de 1- y, por consiguiente, la razón  será menor; esto se reflejará en una elipse mas alargada.[pic 23][pic 24]

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