Introducción a las ecuaciones diferenciales Juan Alberto Рinzón

INTRODUCCION

En el desarrollo del siguiente trabajo encontraras desarrollados ejercicios relacionados con la primera unidad de ecuaciones diferenciales de primer orden con información de los siguientes temas introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, y estos ejercicios fueron desarrollados por estudiantes de la unad.

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

OBJETIVOS

• Aplicar los conocimientos de la unidad uno en cada ejercicio realizado y de estas forma ir entendiendo un poco más.

• Lograr profundizar cada conocimiento.

• Integrar el grupo en la actividad colaborativa.

• evaluar e implementar la teoría vista durante el desarrollo del modulo

• abordar los temas de la unidad 1 del curso

Fase numero 1

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales juan Alberto pinzón

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

dy/dx+cos⁡〖(y)=0〗

Y” + y = 0 Es una ecuación Lineal de segundo orden

(d^2 y)/(dx^2 )+ dy/(dx ) -5 y=e ^x Es una ecuación Lineal de segundo orden

(y- x ) dx + 4xdy = 0 Es una ecuación primer orden

muestre que y=1/x es una solucion de la ecuacion diferencia

Solución

(dy/dx ) y^2 + y/x- 1/x^2 =0

(dy/dx )+ 1/(x y)- 1/(x^2 y^2 ) =0

(dy/dx )= - 1/xy+ 1/(x^2 y^2 )

(dy/dx )= - 1/(x (1/x))+ 1/(x^2 (1/x^2 ) )

(dy/dx )=0

y= 1/x si es solución de la ecuación diferencial

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separadas.

dy/dx=(x+1)^2

dx=(x+1)^2 dx

dy/dx=(x+1)^2

∫▒〖dy= ∫▒(x+1) 〗^2 dx = ∫▒(x^2+2x+1 )dx

Y = ∫▒〖x^3 dx+ ∫▒〖2xdx+ ∫▒dx〗〗

y= x^3/3 +2 x^2/2 +x

Y=x^3/3 +x^2+x

B. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

dy/dx+2xy=y

e^(∫▒2xdx ) = e^(2 (4^2 ) ) = e^(x^2 )

e^(∫▒〖(xy)dx〗 ) y= ∫▒xdx

e^(x^2 ) y= ∫▒xdx

e^(x^2 ) y= x^2/2

y= x^2/2* 〖e^(-x)〗^2

C.Resuelva la ecuación diferencial

dy/dx= y/x+ x/y

Solución

Ecuación de primer orden no lineal

dy/dx= y/x+ x/y

dy/dx= (y^2+x^2)/xy

(x y)dy=(y^2+x^2 )dx

-(y^2 +x^2 ) dx +(x y )dy

-2 y ≠ 1 no es exacta

(- 2 y-1)/xy= (-2)/x- 1/xy

e^∫▒2/x dx- ∫▒〖1/xy dx〗

e^(-2 ln⁡〖(x)- 1/y ln⁡〖(x)〗 〗 )

x^(-2-1/4) =x (-2y-1)/y

D.Resuelva la ecuación diferencial

x dy/dx +4y=x^4 y^2 sujeta a y (1)=1 e^∫▒〖2x dx=e〗^x2

e^x2 y= ∫▒〖x e^x2 dx〗

e^x2 y= e^x2/2 + c

Y= 1/2 +c

Resuelva la ecuación diferencial

x dy/dx +4y=x^4 y^2 sujeta a y (1)=1 e^∫▒〖2x dx=e〗^x2

e^x2 y= ∫▒〖x e^x2 dx〗

e^x2 y= e^x2/2 + c

Y= 1/2 +c

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales NANCY JOHANA PATIÑO RUIZ

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

B. y^''+y=0 Es una ecuación Lineal de segundo orden

C.(〖□(24&d)〗^2 y)/〖dx〗^2 + dy/dx – 5y=e^x Es una ecuación Lineal de segundo orden

D. (y- x)dx+4xdy=0 Es una ecuación primer orden

E. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

(dy/dx)+ y^2+ y/x- 1/x^2 =0

Solución

y= 1/x

y= x^(-1)

dy/dx= 〖1x〗^2 dx

dy/dx= -1/x^2

(dy/dx)+ y^2+ y/x- 1/x^2 =0

-1/x^2 + (1/x)^2+ (1/x)/(x/1)- 1/x^2 =0

-1/x^2 + 1/x^2 + 1/x^2 - 1/x^(2 ) =0

0=0

y= 1/x si es solución de la ecuación diferencial

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separadas.

dy/dx= 〖(x+1)〗^2

u=x+1; du=dx

∫▒〖u^2 du〗=m u^3/3+c

∫▒dy= ∫▒〖〖(x+1)〗^2 dx〗

y= ∫▒〖u^2 du〗

y= u^3/3+c

y= 〖(x+1)〗^3/3+c

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

dy/dx+2xy=y

dy+2ydx=xdx

(2xy)dx+(1)dx=xdx

M (X,Y)dx+(N,Y)dx

M=Zxy

N=1

Nx-My=0-2x= -2x

u=u(x)

-N du/dx=(Nx-My)u

(-1) du/dx= -2xu

du/du=2xdx

Ln |u|= x^2

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