Temática introducción a las ecuaciones diferenciales.

Temática introducción a las ecuaciones diferenciales.

Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta.

x^2 sen(x)-〖(cos〗⁡〖x)〗 y=sen x dy/dx

Respuesta

Procedimientos Comentarios

ORDEN 1: el orden de la EDO es el orden de la mayor derivada presente en la ecuación diferencial.

dy/dx Es la mayor derivada

Si es lineal ya que el exponente de 〖Y y Y〗^1 es de grado 1 y además de esto

dy/dx no se está multiplicando con ningún Y

Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si es de la siguiente forma:

Escriba aquí la ecuación.

y dy/dx+(senx) y^3=e^x+1

Respuesta

Procedimientos Comentarios

Ordinaria Porque las variables dependientes son respecto a una sola variables independiente

Es de orden 1 Porque la derivada está en primer grado

No es lineal Porque y esta elevado a la cubo y el coeficiente que multiplica a las derivadas debe ser x y no y

(d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx+y=cos⁡(x+y)

Respuesta

Procedimientos Comentarios

Ordinaria Porque las variables dependientes son respecto a una sola variable independiente

Es de orden 2 Porque tiene una segunda derivada (la derivada está en segundo grado)

No es lineal Porque aunque es decreciente y y esta elevado a 1 hay un polinomio que depende de y (cos depende tanto de x como de y)

(d^2 r)/(du^2 )= √(1+〖(dr/du)〗^2 )

Respuesta

Procedimientos Comentarios

Ordinaria Porque las variables dependientes son respecto a una sola variable independiente

Segundo orden Porque tiene una segunda derivada (la derivada está en segundo grado)

No es lineal Porque hay derivadas que tiene una potencia al cuadrado y no cumple con los polinomios y hay un coeficiente que depende de las dos variables r y u

y^2-1dx+6xdy=0

Respuesta

Procedimientos Comentarios

Ordinaria Porque las variables dependientes son respecto a una sola variables independiente

Primer orden Porque la derivada está en primer grado

No es lineal Porque hay un coeficiente que depende de y

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

Resuelva la siguiente ecuación por el método de variables separables:

e^(-y)+ e^(-2x-y)=e^x y dy/dx

Respuesta

Procedimientos Comentarios

e^(-y)+ e^(-2x-y)=e^x y dy/dx

1/e^y +e^(-2x)/e^y =e^x y dy/dx

(1+e^(-2x) )=e^x y*e^y dy/dx

((1+e^(-2x)))/e^x =ye^y dy/dx

(1/e^x +e^(-2x)/e^x )dx=ye^y dy

(e^(-x)+e^(-2x-x) )dx=ye^y dy

∫▒〖(e^(-x)+e^(-3x) )dx=∫▒〖ye^y dy〗〗

∫▒〖e^(-x) dx+∫▒〖e^(-3x) dx=∫▒〖ye^y dy〗〗〗

〖-e〗^(-x)-e^3x/3+c=ye^y-e^y+c

〖-e〗^(-x)+e^y-e^3x/3-ye^y+c=0

〖-e〗^(-x)-e^3x/3+e^y (-y+1)=c

e^y (1-y)-e^x/3-e^3x=c

determine si la ecuación dada es exacta si lo es resuelva:

(1-lnx)dy=(1+lnx+y/x)dx

Respuesta

Procedimientos Comentarios

(1-lnx)dy=(1+lnx+y/x)dx

(1-ln⁡(x))-(1+ln⁡(x)+y/x)dx=0

N(x,y)=(1-ln⁡(x))

M(x,y)=-(1+ln⁡(x)+y/x)

( aN)/ax= ( -1)/x

aM/ay= (-1)/x

f(x,y)=∫▒〖(1-ln⁡(x))dy+h(x)〗

=1-ln⁡(x)y+h(x)

(af(x,y))/ax = (-1y)/x + h´(x)

= (-y)/x+h´(x)= -1-ln⁡(x)-y/x

h(´x) = -1-ln⁡(x)

h(x) = ∫▒〖(-1-ln⁡(x)dx〗

=-x-[x ln⁡(x)-x]

luego

f(x,y)= y -y ln⁡〖(x)-〗 x-x ln⁡(x)+x

f(x,y)= y -y ln⁡〖(x)-〗 x ln⁡(x)

y (1-ln⁡〖(x))=〗 x ln⁡(x)

y(x)=(ln⁡(x)/(1- ln⁡(x) ))

Para saber si la EDO es exacta se debe cumplir

aN/ax = ( am)/ay de donde

N(x,y)=(1-ln⁡(x))

M(x,y)=-(1+ln⁡(x)+y/x)

Haciendo que sus derivadas parciales queden así:

( aN)/ax= ( -1)/x

aM/ay= (-1)/x

Como se verifica aN/ax = aM/ay entonces la ecuación diferencial es exacta.

En este caso utilizare

f(x,y)=∫▒〖N(x,y)dy+h(x)〗

Ahora necesito hallar h(x) para eso se deriva f(x,y) respecto x´´ y luego af/ax = m(x,y)

Luego integro el h´(x)

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

por

6𝑥𝑦𝑑𝑥+ (4𝑦+9𝑥2) 𝑑𝑦=0

Respuesta

Procedimientos Comentarios

6Xydx + (4y + 9x2) * dy = 0

6dxyX + (9x2 + 4y) * dy = 0

6dxyX + dy(9x2 + 4y) = 0

6dxyX + (9x2 * dy + 4y * dy) = 0

6dxyX + (9dx2y + 4dy2) = 0

D. Resuelva la ecuación diferencial

〖(y〗^2+yx)dx-x^2 dy=0

Respuesta

Procedimientos Comentarios

y=vx; (dy/dx)= (dv/dx)x+v

(dv/dx)x+v=F(v

(dx/x)=dv/((f(v)-v))

En este caso: F(v)=v^2+v

(dx/x)=dv/v^2

Ln |x|=-v^(-1)+c

Ln |x|=(-1)/(y/x)+c

= (-x)/((Ln|x|+c))

E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial

(x^2+〖2y〗^2 ) dx/dy-xy=0

y(-1)=1

Respuesta

Procedimientos Comentarios

dx/dy =xy/(x^2+ 2y^2 )

dy/dx =(x^2+ 2y^2)/xy

dy/dx=x/y+2y/x

dy/dx = 1/(y/x) + 2 y/x

Let u =y/x

y = ux

dy/dx= x du/dx + u

x du/dx + u =1/u + 2u

x du/dx =1/u+ u

x du/dx =(1+u^2)/u

u/(1 + u^2 ) du =dx/x

∫▒〖 〗 2u/(1 + u^2 ) du/2 = ∫1/x dx

ln(1 + u^2 )/2 = ln|x| + C

ln(1 + u^2 )/2 = C + ln|x|

ln(1 + u²) = C + 2ln|x|

1 + u² = e^((C + 2ln|x|))

1 + u² =〖 e〗^((C + lnx²))

1 + u² = eᶜx²

1 + u²

...