INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

INSTITUTO TECNOLOGICO DE IZTAPALAPA

MATERIA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR:

ING. RENÉ TOCOHUA ROJAS

ALUMNO:

SÁNCHEZ JIMÉNEZ AGUSTÍN

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

GRUPO:

ISC-4AM

INDICE:

CRITERIOS DE EVALUACION

TEMARIO

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

PROBLEMARIO UNIDAD UNO

EXAMEN UNIDAD UNO

PROBLEMARIO UNIDAD DOS

EXAMEN UNIDAD DOS

PROBLEMARIO UNIDAD TRES

EXAMEN UNIDAD TRES

PROBLEMARIO UNIDAD CUATRO

EXAMEN UNIDAD CUATRO

PROBLEMARIO UNIDAD CINCO

EXAMEN UNIDAD CINCO

CONCLUSIONES.

CRITERIOS DE EVALUACION:

4unidades

Cinco exámenes

Ponderación por cada unidad.

Solución de problemarios a computadora empleando editor de ecuaciones de Word

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.

En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.

Las primeras pueden definirse como expresiones del tipo

F(x) = 0  donde x representa la variable en cuestión y F una función real de variable real cuya regla de correspondencia está dada en términos de sumas, productos, o potencias de funciones familiares como la idéntica, el logaritmo, las funciones trigonométricas o las inversas de éstas. Si la ecuación tiene más de una variable, digamos x1, x2, ..., xn entonces quedaría def nida como una expresión del tipo F(x1, x2, ..., xn) = 0 siendo F una función de Rn en Rm. En este caso la ecuación es vectorial y constituye lo que conocemos como un sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas es de la forma siguiente:

F1(x1, x2, ..., xn) = 0

F2(x1, x2, ..., xn) = 0

· · · · · · · · · · · · · · ·· Fn(x1, x2, ..., xn) = 0

Aquí el problema consiste en resolver simultáneamente varias ecuaciones y conocemos métodos aplicables cuando F es una función lineal:

Fi(x1, x2, ..., xn) = ai

1x1, ai

2x2, ..., ai

nxn + bi.

Ejemplos de los tipos de ecuaciones mencionadas anteriormente son:

i) x + 2 = 0

ii) x2 + 3x + 2 = 0

iii) sen2x+cos2x −1 = 0

iv) 2x + y + 3 = 0

v) ( x + 2y + 3 = 0 3x + 5y −2 = 0 )

Utilizando el lenguaje del cálculo diferencial podemos escribir ecuaciones donde aparezca una función f : R → R , su variable x, y derivadas de diferentes órdenes de f como por ejemplo:

i) f0(x) −5 = 0

ii) 8f00(x) + 6f0(x) + 3f(x) + 2 = 0

iii) f(vi)(x) + f(x) = 0

iv) (f00(x))3 + 2xf(x)+senx = 0

que son ecuaciones del tipo

F(x, f(x), f0(x), ..., f(n)(x)) = 0  y son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de la mayor derivada que aparezca es entendido como el orden de la ecuación diferencial.

Podemos también escribir sistemas de ecuaciones deferenciales donde aparezcan dos o más funciones de una misma variable como por ejemplo:

( f0(x) − f(x) + q(x) = 0       q0(x) − f(x)q(x) = 0 )

Constituye un sistema de ecuaciones ordinarias, los cuales en general son de la forma:

F1(x, f1, f01 , ..., f(n)

1 , ..., fm, f0m, ..., f(n)

m ) = 0

F2(x, f1, f01 , ..., f(n)

1 , ..., fm, f0m, ..., f(n)

m ) = 0

...................................................

Fm(x, f1, f01, ..., f(n) 1 , ..., fm, f0m , ..., f(n) m ) = 0 el orden de la mayor derivada que aparece se define como el orden del sistema de ecuaciones diferenciales. El sistema que se dio en el ejemplo anterior es entonces uno de primer orden. Hay otros tipos de ecuaciones que pueden ser considerados como por ejemplo aquel donde aparece una función f de Rn en R, sus variables y derivadas parciales de diferentes órdenes:

i) Si f : R3 → R, f = f(x, y, z)

∂f

∂x + 2x∂2f

∂y2 + y ∂2f

∂x∂y + ∂f

∂z = 0

ii) Si f : R2 → R, f = f(x, y)

∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2 + f = 0

iii) Si f : R4 → R, f = f(x, y, z, t)

∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2 + ∂2f

∂z2 = k ∂2f

∂t2

Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales parciales y también en este caso el orden de la ecuación se define como el orden de la mayor derivada que aparezca. Todas estas son ecuaciones funcionales pues las incógnitas no son números sino funciones. Existen otros tipos de ecuaciones funcionales como las ecuaciones integrales y las integro-diferenciales pero por el momento estamos interesados en las ecuaciones diferenciales y de estas especialmente en las ordinarias.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE IZTAPALAPA

MATERIA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR:

RENÉ TOCOHUA ROJAS

ALUMNO:

SÁNCHEZ JIMÉNEZ AGUSTÍN

PROBLEMARIO UNIDAD UNO

GRUPO:

ISC-4AM

1.   En las siguientes ecuaciones diferenciales determine:                                                                                          El orden, El grado, cuando sea posible, Si es lineal o no lo es, Tipo ,Variable dependiente, variable independiente

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